Какова длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если диагональ АС является биссектрисой
Какова длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если диагональ АС является биссектрисой угла A, равного 45°, и меньшее основание трапеции равно 7 корень из 2? Представьте решение и ответ в виде.
Muha 16
Давайте решим данную задачу поэтапно.Шаг 1: Установление важных данных
Для начала, нам дано, что прямоугольная трапеция ABCD имеет основания AD и BC, а диагональ АС является биссектрисой угла A, равного 45°. Мы также знаем, что меньшее основание трапеции равно 7 корень из 2.
Шаг 2: Поиск необходимой информации
Нам нужно найти длину диагонали BD трапеции. Для этого нам понадобится использовать свойства прямоугольных трапеций и биссектрисы угла.
Шаг 3: Определение свойств прямоугольной трапеции
В прямоугольной трапеции, диагональ является осью симметрии. Это означает, что диагональ делит трапецию на две равные половины. Также, она является высотой каждой из половинок.
Шаг 4: Определение свойств биссектрисы угла
Биссектриса угла делит его на две равные части. В нашем случае, биссектриса угла A делит его на два равных угла, каждый из которых равен 45°.
Шаг 5: Использование свойств для решения задачи
Так как диагональ АС является биссектрисой угла A и делит его на два равных угла, значит, углы CAD и BAD также равны 45°.
Теперь мы можем использовать геометрические свойства прямоугольной трапеции. Основываясь на симметрии трапеции, диагональ BD будет иметь такую же длину, как и диагональ АС.
Таким образом, длина диагонали BD равна длине диагонали АС, которая также является высотой каждой половинки трапеции.
Шаг 6: Нахождение длины диагонали BD
Для определения длины диагонали АС нам необходимо использовать известные данные и теорему Пифагора.
Длина меньшего основания AD равна 7 корень из 2.
По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике, где одна сторона равна 7 корень из 2, а гипотенуза (диагональ) равна длине диагонали АС, мы можем найти длину другого катета (BC).
По теореме Пифагора:
\[BC^2 = AC^2 - AB^2\]
Рассчитаем длину основы BC:
\[BC^2 = (7\sqrt{2})^2 - 7^2\]
\[BC^2 = 98 - 49\]
\[BC^2 = 49\]
\[BC = 7\]
Теперь у нас есть значения сторон AD, BC и диагонали AC, и мы можем найти длину диагонали BD, которая также равна длине диагонали АС.
Таким образом, длина диагонали BD равна 7. Ответом на задачу является значение 7.