Какие значения an и d можно найти для арифметической прогрессии со следующими характеристиками: 1) a1 = 40, n

Bukashka

46

Давайте начнем с первой задачи. У нас есть следующие данные для арифметической прогрессии:

\(a_1 = 40\) (первый член прогрессии),
\(n = 20\) (количество членов прогрессии),
\(S_{20} = -40\) (сумма 20 членов прогрессии).

Найдем значение разности прогрессии \(d\). Для этого воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d),\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Подставим известные значения:

\[-40 = \frac{20}{2}(2 \cdot 40 + (20-1)d).\]

Решим это уравнение относительно \(d\):

\[-40 = 10(80 + 19d).\]

\[-40 = 800 + 190d.\]

\[190d = -840.\]

\[d = \frac{-840}{190}.\]

Выполним вычисления:

\[d = -4.421.\]

Таким образом, значение разности \(d\) для данной прогрессии равно -4.421.

Теперь найдем значение первого члена прогрессии \(a_1\). Для этого воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).\]

Подставим известные значения:

\[-40 = \frac{20}{2}(2 \cdot a_1 + (20-1) \cdot (-4.421)).\]

Решим эту уравнение относительно \(a_1\):

\[-40 = 10(2a_1 - 80.84).\]

\[-40 = 20a_1 - 808.4.\]

\[20a_1 = 768.4.\]

\[a_1 = \frac{768.4}{20}.\]

Выполним вычисления:

\[a_1 = 38.42.\]

Таким образом, значение первого члена \(a_1\) для данной прогрессии равно 38.42, а значение разности \(d\) равно -4.421.

Перейдем ко второй задаче. Мы имеем следующие данные:

\(a_1 = \frac{1}{3}\),
\(n = 16\),
\(S_{16} = -10\frac{2}{3}\).

По аналогии с предыдущей задачей, найдем значение разности \(d\). Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).\]

Подставим известные значения:

\[-10\frac{2}{3} = \frac{16}{2}(2 \cdot \frac{1}{3} + (16-1)d).\]

\[-\frac{32}{3} = 8(\frac{2}{3} + 15d).\]

\[{-\frac{32}{3} = \frac{16}{3} + 120d}.\]

\[120d = -\frac{48}{3}.\]

\[d = -\frac{2}{5}.\]

Таким образом, значение разности \(d\) для данной прогрессии равно \(-\frac{2}{5}\).

Теперь найдем значение первого члена прогрессии \(a_1\). Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).\]

Подставим известные значения:

\[-10\frac{2}{3} = \frac{16}{2}(2 \cdot a_1 + (16-1) \cdot (-\frac{2}{5})).\]

\[-10\frac{2}{3} = 8(2a_1 - 3\frac{2}{5}).\]

\[-10\frac{2}{3} = 16a_1 - \frac{96}{5}.\]

\[-\frac{32}{3} = 16a_1 - \frac{96}{5}.\]

\[-\frac{32}{3} + \frac{96}{5} = 16a_1.\]

\[-\frac{160}{15} + \frac{288}{15} = 16a_1.\]

\[\frac{128}{15} = 16a_1.\]

\[a_1 = \frac{128}{240}.\]

Выполним вычисления:

\[a_1 = \frac{8}{15}.\]

Таким образом, значение первого члена \(a_1\) для данной прогрессии равно \(\frac{8}{15}\), а значение разности \(d\) равно \(-\frac{2}{5}\).

Перейдем к третьей задаче. У нас есть следующие данные:

\(a_1 = -4\),
\(n = 11\),
\(S_{11} = 231\).

Найдем значение разности \(d\). Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).\]

Подставим известные значения:

\[231 = \frac{11}{2}(2 \cdot (-4) + (11-1)d).\]

\[231 = \frac{11}{2}(-8 + 10d).\]

\[231 = \frac{11}{2}(-8 + 10d).\]

\[\frac{231}{11} = -8 + 10d.\]

\[21 = -8 + 10d.\]

\[21 + 8 = 10d.\]

\[10d = 29.\]

\[d = \frac{29}{10}.\]

Таким образом, значение разности \(d\) для данной прогрессии равно \(\frac{29}{10}\).

Теперь найдем значение первого члена прогрессии \(a_1\). Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).\]

Подставим известные значения:

\[231 = \frac{11}{2}(2 \cdot (-4) + (11-1) \cdot \frac{29}{10}).\]

\[231 = \frac{11}{2}(-8 + 10 \cdot \frac{29}{10}).\]

\[231 = \frac{11}{2}(-8 + 29).\]

\[231 = \frac{11}{2}(21).\]

\[231 = 231.\]

Таким образом, значение первого члена \(a_1\) для данной прогрессии равно -4, а значение разности \(d\) равно \(\frac{29}{10}\).

Все значения \(a_1\) и \(d\) найдены для каждой задачи.