Какие свойства квадратичной функции можно описать? Что можно сказать о графике функции y = -2x^2 + 9x - 7? Какое

Загадочный_Песок

4

Квадратичная функция - это функция вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты. В данном случае, у нас дана функция \(y = -2x^2 + 9x - 7\).

1. Свойства квадратичной функции:
- Вершина параболы: координаты вершины можно найти с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\) и подставить этот \(x\) обратно в уравнение функции для получения \(y\).
- Направление ветвей параболы: если коэффициент \(a\) положительный, то ветви параболы направлены вниз, а если отрицательный, то вверх.
- Точка пересечения с \(y\)-осью: чтобы найти нули функции (то есть значения \(x\), где функция равна нулю), можно решить квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) с помощью дискриминанта.
- Значение функции в своем наименьшем значении: наименьшее значение функции соответствует координате \(y\) вершины параболы.
- Диапазоны возрастания и убывания: функция возрастает на промежутках, где y-координаты вершины параболы меньше значений y на этом промежутке и убывает на промежутках, где y-координаты вершины параболы больше этих значений.

2. График функции \(y = -2x^2 + 9x - 7\):
- Вершина параболы: чтобы найти координаты вершины, применим формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). Здесь \(a = -2\) и \(b = 9\). Подставляя значения, получаем \(x = -\frac{9}{2\cdot(-2)} = \frac{9}{4}\). Подставляя \(x\) обратно в уравнение, найдем \(y\): \(y = -2\left(\frac{9}{4}\right)^2 + 9\left(\frac{9}{4}\right) - 7 = -\frac{71}{8}\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{9}{4}, -\frac{71}{8}\right)\).
- Направление ветвей параболы: так как коэффициент \(a = -2\) отрицательный, ветви параболы направлены вверх.
- Точки пересечения с \(y\)-осью: чтобы найти нули функции, решим уравнение \(y = 0\). Подставляя значения, получаем \(-2x^2 + 9x - 7 = 0\). Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D(y)\) равен \(b^2 - 4ac\), где \(a = -2\), \(b = 9\) и \(c = -7\). Подставляя значения, получаем \(D(y) = 9^2 - 4(-2)(-7) = 9^2 - 56 = 81 - 56 = 25\). Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.
- Значение функции в своем наименьшем значении: мы уже вычислили, что наименьшее значение функции соответствует координате \(y\) вершины параболы и равно \(-\frac{71}{8}\).
- Диапазоны возрастания и убывания: функция возрастает на промежутках, где y-координаты вершины параболы меньше значений y на этом промежутке и убывает на промежутках, где y-координаты вершины параболы больше этих значений.

3. Числовые значения:
- Значение \(D(y)\) равно 25.
- Значение \(E(y)\) явно не дано в задаче. Если имеется в виду экстремум функции (наименьшее значение), то его значение равно \(-\frac{71}{8}\).