Какова длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если диагональ AC является биссектрисой

Яна

25

Для того чтобы найти длину диагонали BD, сначала нам нужно найти длину диагонали AC. Диагональ AC является биссектрисой угла А, который равен 45°. Это означает, что угол ABC тоже равен 45°. Также, так как ABCD - прямоугольная трапеция, то угол BCD также равен 90°. Теперь мы можем использовать теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC:
\[\frac{AC}{AB} = \frac{\sin(45°)}{\sin(90°)}\]
Так как \(\sin(90°)\) равен 1, мы получим:
\[\frac{AC}{AB} = \sin(45°)\]
А так как это прямоугольный треугольник, мы можем просто использовать соотношение катетов:
\[AC = AB \cdot \sin(45°)\]

Теперь у нас есть длина диагонали AC. Чтобы найти длину диагонали BD, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BCD:
\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]
Так как BC и CD - это основания трапеции, и мы знаем, что меньшее основание равно \(7\sqrt{2}\), то мы можем записать:
\[BC = 7\sqrt{2}\]
\[CD = AB - BC = AB - 7\sqrt{2}\]

Теперь мы знаем все значения, чтобы найти длину диагонали BD. Подставим значения в формулу:
\[BD^2 = (7\sqrt{2})^2 + (AB - 7\sqrt{2})^2\]
\[BD^2 = 98 + (AB^2 - 14AB\sqrt{2} + 49)\]
\[BD^2 = AB^2 - 14AB\sqrt{2} + 147\]

Так как у нас есть уравнение вида \(BD^2 = ...\), чтобы найти длину диагонали BD, нам нужно взять квадратный корень из обеих сторон:
\[BD = \sqrt{AB^2 - 14AB\sqrt{2} + 147}\]

Теперь мы можем подставить значение меньшего основания трапеции, которое равно \(7\sqrt{2}\), в формулу для AB и вычислить значение BD. Получится:
\[BD = \sqrt{(7\sqrt{2})^2 - 14 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 147}\]
\[BD = \sqrt{98 - 98 + 147}\]
\[BD = \sqrt{147}\]
\[BD = \sqrt{3 \cdot 49}\]
\[BD = 7\sqrt{3}\]

Таким образом, длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD равна \(7\sqrt{3}\).