Найдите скалярное произведение векторов

Solnechnyy_Kalligraf_6112

15

Когда мы говорим о скалярном произведении векторов, мы имеем в виду операцию, в результате которой получается число - скаляр. Давайте рассмотрим, как это работает на практике.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по следующей формуле:

\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - это два вектора, \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины, и \(\theta\) - угол между ними.

Для вычисления скалярного произведения, нам нужно знать длины векторов и угол между ними.

Длины векторов вычисляются с использованием формулы длины вектора:

\[
|\vec{a}| = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2 + {a_z}^2}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2 + {b_z}^2}
\]

где \({a_x}\) и \({a_y}\) и \({a_z}\) - это координаты вектора \(\vec{a}\), а \({b_x}\), \({b_y}\) и \({b_z}\) - координаты вектора \(\vec{b}\).

Угол \(\theta\) можно определить с помощью формулы:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}
\]

Теперь у нас есть все необходимые формулы, чтобы вычислить скалярное произведение векторов. Давайте рассмотрим пример:

Пусть у нас есть два вектора \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) и \(\vec{b} = (-4, 0, 5)\).

Чтобы вычислить скалярное произведение, первым делом найдем длины векторов:

\[
|\vec{a}| = \sqrt{{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \sqrt{14}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{{(-4)^2 + 0^2 + 5^2}} = \sqrt{41}
\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\):

\[
\cos(\theta) = \frac{{(1 \cdot -4) + (2 \cdot 0) + (3 \cdot 5)}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{41}}} = \frac{{-4 + 15}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{41}}} = \frac{{11}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{41}}}
\]

Теперь, зная длины векторов и значение угла \(\theta\), мы можем вычислить скалярное произведение:

\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{41} \cdot \frac{{11}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{41}}} = 11
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) и \(\vec{b} = (-4, 0, 5)\) равно 11.