Какова длина диагонали квадрата, если его периметр равен

Солнечный_Пирог_3808

11

Давайте решим эту задачу step-by-step.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Так как мы знаем, что периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон, то периметр \(P\) можно выразить следующим образом: \(P = 4a\).

Мы также знаем, что длина диагонали квадрата равна расстоянию между двумя противоположными углами. Давайте обозначим длину диагонали квадрата как \(d\).

Чтобы найти длину диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, одной из сторон квадрата и половиной стороны квадрата.

Так как диагональ квадрата разделяет его на два прямоугольных треугольника, то можно сказать, что:
\((\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = d^2\), поскольку диагональ является гипотенузой.

Мы можем упростить это уравнение:
\(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = d^2\).

Суммируем два слагаемых:
\(\frac{2a^2}{4} = d^2\).

Упрощаем и получаем:
\(\frac{a^2}{2} = d^2\).

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\(\sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{d^2}\).

Упрощаем:
\(\frac{a}{\sqrt{2}} = d\).

Таким образом, мы получили, что диагональ квадрата равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Возвращаясь к изначальной информации, периметр \(P\) равен 4a. Мы можем выразить сторону квадрата следующим образом: \(a = \frac{P}{4}\).

Подставим это значение обратно в выражение для длины диагонали:
\(d = \frac{\frac{P}{4}}{\sqrt{2}}\).

Упрощаем выражение:
\(d = \frac{P}{4\sqrt{2}}\).

Таким образом, длина диагонали квадрата равна \(\frac{P}{4\sqrt{2}}\).