What is the equivalent expression for sin(2x+2pi/3)cos(4x+pi/3)-cos2x=sin^2(x)/cos(-pi/3)?

Solnechnyy_Feniks

68

Чтобы найти эквивалентное выражение для данного уравнения, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Начнем с левой стороны уравнения: sin(2x + 2π/3)cos(4x + π/3) - cos^2(x).

2. Воспользуемся тригонометрическими формулами для синуса и косинуса двойного угла.

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Мы можем применить эти формулы к первому слагаемому:

sin(2x + 2π/3) = 2sin(x + π/3)cos(x + π/3)

Теперь у нас есть:

2sin(x + π/3)cos(x + π/3)cos(4x + π/3) - cos^2(x)

3. Заметим, что cos(4x + π/3) можно представить как:

cos(4x + π/3) = cos((2x + π/3) + (2x + π/3)).

Используя формулу для суммы косинусов, получим:

cos(4x + π/3) = cos(2x + π/3)cos(2x + π/3) - sin(2x + π/3)sin(2x + π/3)
= cos^2(2x + π/3) - sin^2(2x + π/3).

4. Теперь заменим значение cos(4x + π/3) на выражение с использованием cos^2(x) и sin^2(x):

cos(4x + π/3) = cos^2(2x + π/3) - sin^2(2x + π/3)
= [1 - sin^2(2x + π/3)] - sin^2(2x + π/3)
= 1 - 2sin^2(2x + π/3).

5. Подставим это обновленное выражение в уравнение:

2sin(x + π/3)cos(x + π/3)[1 - 2sin^2(2x + π/3)] - cos^2(x)

6. Разложим произведение cos(x + π/3)[1 - 2sin^2(2x + π/3)]:

2sin(x + π/3)[cos(x + π/3) - 2sin^2(x + π/3)cos(x + π/3)] - cos^2(x).

7. По тригонометрическим формулам, мы знаем:

cos(x + π/3) = cos(x)cos(π/3) - sin(x)sin(π/3)
= cos(x)(1/2) - sin(x)(√3/2)
= (1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x).

sin(x + π/3) = sin(x)cos(π/3) + cos(x)sin(π/3)
= sin(x)(1/2) + cos(x)(√3/2)
= (1/2)sin(x) + (√3/2)cos(x).

8. Произведение cos(x + π/3)[1 - 2sin^2(x + π/3)cos(x + π/3)] можно заменить на:

[(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - 2((1/2)sin(x) + (√3/2)cos(x))^2((1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x))].

9. Раскроем квадрат и приведем подобные элементы:

[(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - ((1/2)sin(x) + (√3/2)cos(x))^2((1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x))]
= [(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - ((1/4)sin^2(x) + (√3/2)sin(x)cos(x) + (3/4)cos^2(x))((1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x))]
= [(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - ((1/4)sin^2(x) + (√3/2)sin(x)cos(x) + (3/4)cos^2(x))(1/2)cos(x) + (√3/2)sin(x))].

10. Проведем несложные алгебраические вычисления:

[(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - ((1/4)sin^2(x) + (√3/2)sin(x)cos(x) + (3/4)cos^2(x))(1/2)cos(x) + (√3/2)sin(x))]
= [(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][1 - (1/8)sin^2(x) - (√3/4)sin(x)cos(x) - (3/8)cos^2(x) + (√3/4)sin(x)cos(x) - (√3/8)sin^2(x) + (3/8)cos^2(x))]
= [(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][(5/8) - (4/8)sin^2(x) - (√3/4)sin(x)cos(x) - (√3/8)sin^2(x) + (3/8)cos^2(x)].

11. Наконец, заменим sin^2(x)/cos(-π/3) на соответствующее математическое выражение:

sin^2(x)/cos(-π/3) = sin^2(x)/cos(π/3)
= sin^2(x)/(1/2),
где мы использовали формулу: cos(π/3) = 1/2.

Таким образом, окончательная форма равенства будет выглядеть следующим образом:

[(1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x)][(5/8) - (4/8)sin^2(x) - (√3/4)sin(x)cos(x) - (√3/8)sin^2(x) + (3/8)cos^2(x)] = sin^2(x)/(1/2).

Это максимально подробное разложение и замена исходного уравнения. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь обращаться!