Какова длина диагонали квадрата, вписанного в окружность, если радиус равен 4 корня

Храбрый_Викинг_8383

37

Давайте рассмотрим данную задачу подробнее. У нас есть квадрат, вписанный в окружность. По определению, вписанный квадрат означает, что углы квадрата касаются окружности, а его стороны - средние перпендикуляры к диаметру окружности.

Первым шагом определим диаметр окружности. Нам известно, что радиус равен 4 корня. Диаметр - это удвоенное значение радиуса, поэтому мы умножим радиус на 2:
\[диаметр = 2 \times радиус\]
\[диаметр = 2 \times 4 \times \sqrt{2}\]
\[диаметр = 8 \times \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти длину диагонали квадрата, нам нужно знать длину его стороны.

Для этого обратимся к геометрии квадрата. Каждая сторона квадрата является средней перпендикуляром к диаметру окружности. Это означает, что сторона квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, а диаметр - его основанием. Так как диаметр равен 8 корня 2, то гипотенуза треугольника будет равна 8 корня 2.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины стороны квадрата (a) через гипотенузу (c):
\[a^2 + a^2 = c^2\]
\[2a^2 = c^2\]
\[a = \frac{c}{\sqrt{2}}\]
\[a = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\]
\[a = 8\]

Таким образом, мы получили, что длина стороны квадрата равна 8.

Наконец, чтобы найти длину диагонали квадрата, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами 8:
\[диагональ^2 = a^2 + a^2\]
\[диагональ^2 = 8^2 + 8^2\]
\[диагональ^2 = 64 + 64\]
\[диагональ^2 = 128\]
\[диагональ = \sqrt{128}\]
\[диагональ = 8\sqrt{2}\]

Таким образом, длина диагонали квадрата, вписанного в окружность, равна 8 корня 2.