Какова длина диагонали квадрата, вписанного в окружность, радиус которой составляет 16√2?

Шарик

53

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу более внимательно. У нас есть квадрат, который полностью вписан в окружность. Мы знаем, что радиус этой окружности равен \(16\sqrt{2}\).

Для решения этой задачи, давайте сначала найдем длину диагонали квадрата. Затем мы сможем использовать эту информацию, чтобы найти длину диагонали.

Всякий квадрат имеет четыре одинаковые стороны и четыре одинаковых угла. Поскольку окружность полностью вписана в квадрат, то диаметр окружности равен длине стороны квадрата.

Один из методов для нахождения диагонали квадрата - это использовать теорему Пифагора. Согласно этой теореме, длина диагонали квадрата (\(d\)) может быть найдена с помощью формулы:

\[d^2 = a^2 + a^2\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Так как все стороны квадрата равны, мы можем записать это уравнение так:

\[d^2 = 2a^2\]

Чтобы найти длину стороны (\(a\)), мы можем использовать радиус окружности (\(r\)). В данном случае, радиус равен \(16\sqrt{2}\). Мы знаем, что диаметр окружности равен длине стороны квадрата, поэтому:

\[2r = a\]

Подставив значение радиуса, мы получим:

\[2(16\sqrt{2}) = a\]

Упрощая эту формулу, получаем:

\[a = 32\sqrt{2}\]

Теперь мы можем вернуться к формуле для нахождения длины диагонали квадрата:

\[d^2 = 2a^2\]

Подставим значение длины стороны:

\[d^2 = 2(32\sqrt{2})^2\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[d^2 = 2 \cdot 32^2 \cdot 2\]
\[d^2 = 4096\]

Найдя квадратный корень с обеих сторон уравнения, получаем:

\[d = \sqrt{4096}\]
\[d = 64\]

Таким образом, длина диагонали квадрата, вписанного в окружность с радиусом \(16\sqrt{2}\), равна 64.