Какова длина дуги AB сектора AOB окружности с центром в точке O, если длина окружности равна 18 см, а площадь сектора

Артемович

52

Для решения данной задачи воспользуемся следующими формулами:

1. Длина окружности \(C\) с радиусом \(r\) вычисляется по формуле:
\[C = 2\pi r\]

2. Площадь сектора \(S\) с центральным углом \(\theta\) и радиусом \(r\) вычисляется по формуле:
\[S = \frac{{\theta}}{{360}} \cdot \pi r^2\]

Дано, что длина окружности равна 18 см, тогда получаем уравнение:
\[18 = 2\pi r\]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\), чтобы выразить радиус:
\[r = \frac{{18}}{{2\pi}} = \frac{{9}}{{\pi}}\]

Также, дано, что площадь сектора равна \(18\pi\) см².
Теперь подставим известные значения в формулу для площади сектора и найдем центральный угол \(\theta\):
\[18\pi = \frac{{\theta}}{{360}} \cdot \pi \left(\frac{{9}}{{\pi}}\right)^2\]

Сократим \(\pi\) и \(\pi^2\):
\[18 = \frac{{\theta}}{{360}} \cdot \frac{{81}}{{\pi}}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{{360}}{{81}}\) и рассчитаем значение \(\theta\):
\[\theta = \frac{{18 \cdot 360}}{{81}} = 80^\circ\]

Таким образом, мы нашли значение центрального угла \(\theta\), который соответствует площади сектора \(18\pi\) см².

Наконец, чтобы найти длину дуги \(AB\) сектора AOB, воспользуемся формулой:
\[L = \frac{{\theta}}{{360}} \cdot C\]

Подставим известные значения и найдем длину дуги \(AB\):
\[L = \frac{{80}}{{360}} \cdot 18 = \frac{{1}}{{2}} \cdot 18 = 9\]

Таким образом, длина дуги \(AB\) сектора AOB равна 9 см.