Какова длина гипотенузы ав, если прямые, параллельные катетам прямоугольного треугольника авс, пересекают катет

Sverkayuschiy_Gnom

5

Понятно. Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник АВС, в котором прямые, параллельные катетам АС и ВС, пересекают катет АС в точке Е и катет ВС в точке F. Пусть длины отрезков ЕФ и СВ обозначаем как x и y соответственно.

Так как ВС параллельно ЕФ, то треугольники ВСЕ и АФС подобны. Поэтому отрезок ЕФ является пропорционально сокращенной высотой треугольника АВС к его гипотенузе. Мы можем записать это следующим образом:

\(\dfrac{x}{y+x} = \dfrac{BC}{AB}\)

Также, так как BC и AB это катеты прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора мы имеем:

\(AB^2 = BC^2 + AC^2\)

или

\((y+x)^2 = BC^2 + AB^2\)

Теперь давайте решим систему уравнений.

Сначала раскроем квадрат во втором уравнении:

\(y^2 + 2xy + x^2 = BC^2 + AB^2\)

Затем заменим \(BC^2\) и \(AB^2\) с помощью теоремы Пифагора:

\(y^2 + 2xy + x^2 = AC^2 + BC^2 + AC^2\)

\(y^2 + 2xy + x^2 = AC^2 + AB^2 + AC^2\)

\(y^2 + 2xy + x^2 = 2AC^2 + AB^2\)

Как видно из построения прямоугольного треугольника, катет АС равен АЕ + ЕС, что равно \(y + x\). Поэтому мы можем заменить \(AC^2\) на \((y + x)^2\):

\(y^2 + 2xy + x^2 = 2(y + x)^2 + AB^2\)

Раскроем скобки во втором члене:

\(y^2 + 2xy + x^2 = 2y^2 + 4xy + 2x^2 + AB^2\)

Теперь сложим подобные члены:

\(0 = y^2 - 2xy + x^2 + AB^2\)

Так как это уравнение должно выполняться для любых значений x и y, то его коэффициенты должны быть равны нулю:

\(y^2 - 2xy + x^2 + AB^2 = 0\)

Это уравнение квадратично относительно y и x, и его можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного завершения. Однако, чтобы сосредоточиться на длине гипотенузы, давайте рассмотрим специальный случай, когда длина катета АВ равна 1:

\(y^2 - 2xy + x^2 + 1 = 0\)

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти длину гипотенузы.

Но предварительное замечание: в этом уравнении может быть несколько решений для \(x\) и \(y\), но это означает, что эти пары значений представляют разные размеры прямоугольных треугольников. Мы будем рассматривать только положительные значения \(x\) и \(y\), так как длины не могут быть отрицательными.

Решая это уравнение, мы получаем два значения:

\(x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)

и

\(y = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\)

Теперь, так как гипотенуза это отрезок АВ, а его длина - это \(x + y\), подставим значения \(x\) и \(y\):

\(AB = x + y = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} = \sqrt{5}\)

Поэтому длина гипотенузы ав равна \(\sqrt{5}\).