Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если острый угол равен 60 градусам, а высота делит гипотенузу

Магический_Кот

40

Пусть длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \(c\), а длина большего отрезка, на которые делится гипотенуза, составляет \(x\).

Из условия задачи известно, что острый угол равен 60 градусов. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Так как острый угол равен 60 градусам, то у нас имеется равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Поэтому длина каждого отрезка, на которые делится гипотенуза, составляет \(x\).

Таким образом, у нас получается два равносторонних треугольника, образованных высотой, один из которых больше, а другой меньше:

\[
\begin{array}{c c}
\text{меньший треугольник} & \text{больший треугольник} \\
\ | & | \\
\ x & c-x
\end{array}
\]

Используя теорему Пифагора, мы можем написать два уравнения для каждого из треугольников:

\noindent Меньший треугольник:
\[ x^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2 \]

Больший треугольник:
\[ (c-x)^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2 \]

Так как мы знаем, что треугольник равносторонний, \(x = c-x\).
Решим это уравнение:

\[ x = c - x \]
\[ 2x = c \]
\[ x = \frac{c}{2} \]

Теперь мы можем заменить значение \(x\) в уравнениях треугольников:

Меньший треугольник:
\[ \left(\frac{c}{2}\right)^2 + (\text{катет})^2 = c^2 \]

Больший треугольник:
\[ \left(c - \frac{c}{2}\right)^2 + (\text{катет})^2 = c^2 \]

\[
\frac{c^2}{4} + (\text{катет})^2 = c^2
\]
\[
\left(\frac{c}{2}\right)^2 + (\text{катет})^2 = c^2
\]

Теперь мы можем упростить это уравнение, вычитая \(c^2\) из обеих сторон:

\[
\left(\frac{c}{2}\right)^2 = (\text{катет})^2
\]

Затем, применяя квадратный корень к обеим сторонам уравнения, получим:

\[
\frac{c}{2} = \text{катет}
\]

Теперь мы получили значение катета в виде \( \frac{c}{2} \).

Используя соотношение в треугольнике \( \sin(60) = \frac{\text{катет}}{\text{гипотенуза}} \), подставим известные значения:

\[
\sin(60) = \frac{\frac{c}{2}}{c}
\]

Выразим \(c\):

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{c}
\]

Из этого уравнения мы можем найти значение \(c\):

\[
c = 2
\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 2.