В треугольнике ABC, где AC = BC и AB = 21, найдите длину высоты

Тайсон_1685

5

Для решения этой задачи, давайте вначале обозначим данные, чтобы было проще работать с ними. Пусть треугольник ABC имеет стороны AC и BC длиной a, а сторону AB длиной 21.

Так как в треугольнике AC = BC, то это означает, что треугольник равнобедренный. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла напротив этих сторон.

Мы можем использовать это свойство, чтобы решить нашу задачу. Обозначим высоту треугольника как h, а точку пересечения высоты и основания треугольника как D. Тогда мы можем провести отрезок BD, который будет являться высотой треугольника.

Используя свойства равнобедренных треугольников, мы можем сказать, что BD - это одновременно медиана и высота треугольника, а также оно делит основание AB на две равные половины.

Так как треугольник ABC равнобедренный, он имеет два равных угла, соответственно, угол ABD и угол BCD равны. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол BAC равен половине суммы углов ABD и BCD.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину высоты треугольника. Теорема синусов гласит:

\(\frac{a}{\sin(\angle BAC)} = \frac{h}{\sin(\angle ABC)}\)

Заметим, что \(\angle ABC = \angle BAC\) так как треугольник равнобедренный. Поэтому формула становится:

\(\frac{a}{\sin(\angle BAC)} = \frac{h}{\sin(\angle BAC)}\)

Упрощаем эту формулу:

\(a = h\)

Теперь мы можем найти длину высоты треугольника. Поскольку основание AB равно 21, а стороны AC и BC равны, то основание AB разделяется на две равные половины, поэтому BD = \(\frac{21}{2} = 10.5\).

Таким образом, длина высоты треугольника равна 10.5.