1. Существует информация о том, что 24 является делителем числа 96, а 96 является делителем числа 672. Необходимо

Таинственный_Оракул

65

1. Чтобы доказать, что число 24 также является делителем числа 672, мы можем использовать транзитивность свойства делителя.

Мы знаем, что 24 делит 96, то есть \(96 = 24 \cdot k_1\), где \(k_1\) - некоторое целое число. Также мы знаем, что 96 делит 672, то есть \(672 = 96 \cdot k_2\), где \(k_2\) - некоторое целое число.

Теперь давайте запишем равенство для числа 672, используя предыдущие равенства:
\[672 = (24 \cdot k_1) \cdot k_2\]

Мы можем переставить эти множители местами:
\[672 = 24 \cdot (k_1 \cdot k_2)\]

Заметим, что \(k_1 \cdot k_2\) также является целым числом, поэтому мы можем обозначить \(k = k_1 \cdot k_2\):
\[672 = 24 \cdot k\]

Значит, 24 является делителем числа 672, так как мы можем найти целое число \(k\), для которого выполняется равенство. Доказательство завершено.

2. a) Чтобы записать множество всех делителей числа 24, мы должны найти все числа, на которые 24 делится без остатка. Эти числа можно найти, проводя деление 24 на все натуральные числа, меньшие или равные половине 24. Так как \(24 \div 2 = 12\), мы можем провести деление:

\[24 \div 1 = 24\]
\[24 \div 2 = 12\]
\[24 \div 3 = 8\]
\[24 \div 4 = 6\]
\[24 \div 6 = 4\]
\[24 \div 8 = 3\]
\[24 \div 12 = 2\]
\[24 \div 24 = 1\]

Таким образом, множество всех делителей числа 24 равно \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\).

b) Чтобы записать множество всех делителей числа 13, мы можем провести деление 13 на все натуральные числа, меньшие или равные половине 13 (так как 13 - простое число и делится только на 1 и на само себя):

\[13 \div 1 = 13\]
\[13 \div 13 = 1\]

Таким образом, множество всех делителей числа 13 равно \(\{1, 13\}\).

в) Число 1 является особенным, потому что оно делит любое число без остатка. Поэтому множество всех делителей числа 1 состоит только из этого числа: \(\{1\}\).

3. Мы будем проверять три свойства отношений: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Отношение "иметь одинаковое количество делителей" на множестве X будет рассматривать пары чисел, в которых оба числа имеют одно и то же количество делителей.

a) Рефлексивность: Для каждого числа из множества X, оно имеет то же количество делителей, что и само себя. Поэтому отношение рефлексивно.

b) Симметричность: Если число A имеет одно и то же количество делителей, что и число B, то и число B будет иметь то же количество делителей, что и число A. Таким образом, отношение симметрично.

c) Транзитивность: Если число A имеет одинаковое количество делителей, что и число B, а число B имеет одинаковое количество делителей, что и число C, то число A будет иметь одинаковое количество делителей, что и число C. Таким образом, отношение транзитивно.

Таким образом, отношение "иметь одинаковое количество делителей" на множестве X является отношением эквивалентности.

4. Для формулировки заключения, которое доказывает простоту числа 19 и составность числа 22, нам нужно вспомнить определения простого и составного числа.

a) Число 19 называется простым, если оно имеет ровно два делителя: 1 и само число 19. Так как число 19 имеет только два делителя, оно является простым числом.

б) Число 22 называется составным, если оно имеет более двух делителей, то есть делится нацело не только на 1 и на само число 22. Чтобы проверить, является ли число 22 составным, мы можем провести деление на все натуральные числа, меньшие или равные половине числа 22:

\[22 \div 1 = 22\]
\[22 \div 2 = 11\]

Мы видим, что число 22 делится без остатка на 1 и на 2, а также на само число 22 и на 11. Значит, число 22 имеет более двух делителей и является составным числом.

Таким образом, мы сформулировали заключение, которое доказывает, что число 19 является простым, а число 22 является составным.