Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого площадь равна 32 корень из 3 и один из острых углов

Son

3

Конечно, я могу предоставить подробное решение вашей задачи и нарисовать диаграмму, чтобы лучше визуализировать ситуацию.

Дано: площадь прямоугольного треугольника равна 32√3, один из острых углов равен 30 градусов.

Для начала, давайте рассмотрим формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Где а и b - катеты, а площадь - гипотенуза.

Дано, что площадь равна 32√3, поэтому можем записать уравнение:

\[32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Так как один из острых углов равен 30 градусов, мы знаем, что соответствующий катет равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как с и катет как с/2.

Теперь можем записать уравнение через с и с/2:

\[32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{c}{2}) \cdot c\]

Раскроем скобки:

\[32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2}\]

Упростим:

\[64\sqrt{3} = \frac{c^2}{2}\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[128\sqrt{3} = c^2\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:

\[c = \sqrt{128\sqrt{3}}\]

Раскроем корень:

\[c = \sqrt{128}\cdot \sqrt{\sqrt{3}}\]

\[c = 8\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{3}\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \(8\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{3}\).

А теперь я могу нарисовать диаграмму для визуализации треугольника.