Какова длина гипотенузы треугольника АВС, если в нем угол С равен 90°, высота СД равна 3 см и острый угол равен 30°?

Morskoy_Shtorm_5425

38

Для решения данной задачи, нам понадобится теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В треугольнике АВС нам известно, что угол С равен 90° и высота СД равна 3 см. Высота СД является катетом этого треугольника.

Сначала найдем длину другого катета. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для острого угла в треугольнике. Если острый угол равен 30°, то тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс 30° = \(\frac{{CD}}{{AD}}\), где CD - высота, равная 3 см, AD - другой катет треугольника. Тангенс 30° = \(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\).

Теперь мы можем найти длину катета AD: AD = \(\frac{{CD}}{{\tan(30°)}} = \frac{{3}}{{\sqrt{3}}}\).

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы. Так как угол С равен 90° и мы знаем длины обоих катетов, можем записать уравнение: \(AB^2 = AD^2 + CD^2\).

Подставим значения: \(AB^2 = \left(\frac{{3}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 + 3^2\). Возведем в квадрат числа: \(AB^2 = \frac{{9}}{{3}} + 9 = 3 + 9 = 12\).

Перейдем к извлечению квадратного корня: \(AB = \sqrt{12}\).

Теперь упростим корень, разложив число 12 на множители: \(AB = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

Итак, длина гипотенузы треугольника АВС равна \(2\sqrt{3}\) см.