Какова длина катета АС в прямоугольном треугольнике АВС, если угол А равен 30 градусам и длина высоты СМ составляет

Larisa

27

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. У нас есть прямоугольный треугольник АВС, в котором угол А равен 30 градусам, а длина высоты СМ (высота, опущенная из вершины С до гипотенузы АС) неизвестна.

Для начала, обозначим длину катета АС как x. Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b, справедливо следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, гипотенуза треугольника АВС - это сторона АС, катет АВ - это сторона ВС, и катет СМ - это сторона АМ. Это означает, что можно записать следующее равенство:

\[AC^2 = AM^2 + MC^2\]

Теперь нам нужно найти значения AM и MC.

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник АВС, можем использовать тригонометрические соотношения для определения отношений между сторонами и углами. В данной задаче нам понадобятся функции синуса и косинуса.

Для начала определим значению AM. Функция синуса определяется, как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(\theta) = \frac{{противолежащий \,катет}}{{гипотенуза}}\]

В данной задаче, нас интересует соотношение катета СМ к гипотенузе АС. Катет СМ равен длине высоты СМ, а гипотенузой является сторона АС. Используя известное значение угла А в 30 градусов, а функцию синуса, мы можем записать следующее уравнение:

\[\sin(30) = \frac{CM}{AC}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{1}{2} = \frac{CM}{x}\]

Теперь можем найти значение СМ, умножив обе части уравнения на x:

\[\frac{1}{2} \cdot x = CM\]

\[CM = \frac{x}{2}\]

Теперь нам нужно найти значение AM. Функция косинуса определяется, как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[\cos(\theta) = \frac{{прилежащий \,катет}}{{гипотенуза}}\]

В данной задаче, нас интересует соотношение катета АМ к гипотенузе АС. Катет АМ равен длине, которую мы хотим определить, а гипотенузой является сторона АС. Используя известное значение угла А в 30 градусов, а функцию косинуса, мы можем записать следующее уравнение:

\[\cos(30) = \frac{AM}{AC}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AM}{x}\]

Можем найти значение AM, умножив обе части уравнения на x:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = AM\]

\[AM = \frac{\sqrt{3}x}{2}\]

Теперь, зная значения СМ и AM, можем записать уравнение для нахождения значения AC в соответствии с теоремой Пифагора:

\[AC^2 = AM^2 + CM^2\]

Подставим известные значения:

\[x^2 = \left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\]

\[x^2 = \frac{3x^2}{4} + \frac{x^2}{4}\]

\[x^2 = \frac{4x^2}{4}\]

\[x^2 = x^2\]

Мы видим, что выражение справедливо для любого положительного значения x. Поэтому ответом на задачу будет любое положительное значение для длины катета АС.

Таким образом, длина катета АС в данном прямоугольном треугольнике не зависит от угла А и составляет любое положительное значение.