Какова длина катета bc, если в треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, угол B равен 30 градусам, на катете

Кристальная_Лисица

42

Чтобы определить длину катета \(bc\) в данной задаче, мы можем использовать знания о свойствах треугольников и геометрические соотношения.

В данной задаче даны измерения углов треугольника ABC: \(C = 90^\circ\) и \(B = 30^\circ\). Также известно, что в треугольнике ADC угол \(ADC\) равен \(60^\circ\).

Сначала, давайте построим треугольник ABC и рассмотрим его:

\[
\begin{align*}
&\Delta ABC, \quad C = 90^\circ, \quad B = 30^\circ \\
\end{align*}
\]

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), мы можем найти третий угол треугольника ABC, угол \(A\). Из суммы углов треугольника:

\[
\begin{align*}
A + B + C &= 180^\circ \\
A + 30^\circ + 90^\circ &= 180^\circ \\
A + 120^\circ &= 180^\circ \\
A &= 180^\circ - 120^\circ \\
A &= 60^\circ \\
\end{align*}
\]

Теперь мы знаем все углы треугольника ABC.

Важной информацией в задаче является также факт, что на катете \(bc\) отмечена точка D и угол \(ADC\) равен \(60^\circ\). Так как \(C = 90^\circ\), то \(D\) является серединой катета.

Чтобы продолжить решение, давайте рассмотрим треугольники ADC и BDC отдельно:

1. Треугольник ADC:
Для треугольника ADC известно, что угол \(ADC = 60^\circ\) и \(C = 90^\circ\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), мы можем найти третий угол треугольника. Из суммы углов треугольника ADC:

\[
\begin{align*}
A + D + C &= 180^\circ \\
A + 60^\circ + 90^\circ &= 180^\circ \\
A + 150^\circ &= 180^\circ \\
A &= 180^\circ - 150^\circ \\
A &= 30^\circ \\
\end{align*}
\]

Таким образом, угол \(A\) в треугольнике ADC равен \(30^\circ\).

2. Треугольник BDC:
Также давайте рассмотрим треугольник BDC, где \(D\) является серединой катета \(bc\). Так как в треугольнике BDC один угол равен \(90^\circ\) (угол \(C\)) и углы \(B\) и \(D\) в сумме дают \(180^\circ\), угол \(BDC\) — прямой угол (\(90^\circ\)).

Теперь давайте обратимся к свойству треугольников, которое говорит, что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы относится к каждому катету так, как равная величина каждого катета к гипотенузе. Применим это свойство к треугольнику BDC, где \(BDC\) — прямой угол (\(90^\circ\)), \(BD\) — катет и \(BC\) — гипотенуза:

\[
\begin{align*}
BD^2 + CD^2 &= BC^2 \\
\end{align*}
\]

Так как \(D\) является серединой катета \(BC\), у нас есть \(BD = CD\). Подставим это значение в уравнение:

\[
\begin{align*}
BD^2 + BD^2 &= BC^2 \\
2BD^2 &= BC^2 \\
\end{align*}
\]

Отсюда можно прийти к выражению для длины катета \(BD\):

\[
\begin{align*}
BD^2 &= \frac{1}{2} \cdot BC^2 \\
BD &= \sqrt{\frac{1}{2} \cdot BC^2} \\
BD &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot BC \\
\end{align*}
\]

Напомним, что \(D\) является серединой катета \(BC\). Это означает, что отношение длины \(BD\) к длине \(BC\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Теперь нам осталось только найти длину катета \(BC\).

Опираясь на соотношение выше, мы поставим \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) равным отношению \(BD\) к \(BC\) и решим уравнение относительно \(BC\):

\[
\begin{align*}
\frac{BD}{BC} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{\frac{1}{BC} \cdot BC}{\sqrt{2}} &= \frac{BD}{BC} \\
\frac{BC}{\sqrt{2}} &= BD \\
BC &= BD \cdot \sqrt{2} \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили выражение для длины катета \(BC\):

\[
BC = BD \cdot \sqrt{2}
\]

Из информации задачи мы знаем, что \(BD\) является серединой катета \(bc\), а также из угла \(\angle ADC = 60^\circ\), что \(\angle ADB = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ADB\), угол \(\angle BDA = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Исходя из этого, у нас есть два равносторонних треугольника, \(\Delta ADC\) и \(\Delta BDA\).

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Это означает, что \(BD = AD\). Следовательно, мы можем заменить \(BD\) в уравнении для длины катета \(BC\), чтобы получить ответ:

\[
BC = AD \cdot \sqrt{2}
\]

Теперь нам нужно узнать значение длины катета \(AD\). Мы можем использовать геометрические соотношения в прямоугольном треугольнике \(ABC\).

В треугольнике \(ABC\) у нас есть угол \(C = 90^\circ\) и \(B = 30^\circ\). Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(A = 180^\circ - C - B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Таким образом, у нас есть равносторонний треугольник \(ABC\) с углами \(A = 60^\circ\), \(B = 30^\circ\) и \(C = 90^\circ\).

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Это означает, что \(AB = BC\). Следовательно, мы можем заменить \(BC\) в уравнении для длины катета \(AD\):

\[
AD = AB
\]

Теперь нам нужно узнать значение длины стороны \(AB\). Мы можем использовать соотношение в равностороннем треугольнике:

\[
AB = AC
\]

В прямоугольном треугольнике \(ABC\), угол \(C = 90^\circ\) и гипотенуза \(AC\) является самой длинной стороной треугольника. Гипотенуза относится к каждому катету так, как равная величина каждого катета к гипотенузе. Применим это свойство:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{AC}
\]

Заменим \(AC\) на \(AB\) (так как \(AB = AC\)):

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{AB}
\]

Перепишем уравнение:

\[
AB^2 = BC^2
\]

Так как у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), у нас также есть теорема Пифагора. Эта теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), \(AC\) — гипотенуза, и \(AB\) и \(BC\) — катеты. Мы можем записать это как:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Теперь мы можем заменить \(AC^2\) в данном уравнении на \(AB^2\) (так как \(AB = AC\)):

\[
AB^2 = AB^2 + BC^2
\]

Вычитаем \(AB^2\) из обеих частей уравнения:

\[
0 = BC^2
\]

Мы получили, что \(BC^2 = 0\). Теперь давайте найдем значение \(BC\):

\[
BC = \sqrt{0}
\]

Так как квадратный корень из 0 равен 0, мы можем заключить, что

\[
BC = 0
\]

Таким образом, длина катета \(BC\) равна 0.