Какова длина катета прямоугольного треугольника, который находится напротив угла в 30 градусов, если площадь

Искрящаяся_Фея

18

Чтобы найти длину катета прямоугольного треугольника, нам нужно использовать формулу для площади такого треугольника и связать ее с длиной катета.

Формула для площади прямоугольного треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{длина первого катета} \times \text{длина второго катета} \]

В данной задаче у нас есть площадь \(24.5\sqrt{3}\), и нам нужно найти длину катета, который находится напротив угла в 30 градусов.

Мы также знаем, что угол в 30 градусов является одним из углов в прямоугольном треугольнике, а другим углом является прямой угол (90 градусов). Дали также площадь треугольника.

В начале вам нужно разобраться, как выразить один катет через другой и площадь.

Для начала обозначим длину первого катета как \(x\), а длину второго катета как \(y\). Тогда площадь будет равна:

\[ 24.5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times x \times y \]

Теперь, используя знание о прямом угле, мы можем найти связь между двумя катетами.

Из определения тангенса угла мы знаем, что:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{длина противолежащего катета}}{\text{длина прилежащего катета}} \]

Заметим, что катет, находящийся напротив угла в 30 градусов, равен \(y\), а катет, расположенный рядом с углом в 30 градусов, равен \(x\).

Подставляем известные значения и находим:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{y}{x} \]

Теперь мы можем найти \(y\) через \(x\) с использованием значения тангенса 30 градусов.

\[ y = x \cdot \tan(30^\circ) \]

Подставляя это выражение обратно в формулу для площади, получаем:

\[ 24.5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times x \times (x \cdot \tan(30^\circ)) \]

Теперь остается только решить это уравнение относительно \(x\).

После упрощения уравнения и подстановки численного значения для тангенса 30 градусов (\(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)), мы получим:

\[ 24.5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times x^2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Упрощая это выражение, умножаем обе стороны на \(\sqrt{3}\):

\[ 24.5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times x^2 \]

\[ 24.5 \cdot 3 = \frac{1}{2} \times x^2 \]

\[ 73.5 = \frac{1}{2} \times x^2 \]

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 147 = x^2 \]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

\[ x = \sqrt{147} \]

Таким образом, длина катета прямоугольного треугольника, который находится напротив угла в 30 градусов и имеет площадь \(24.5\sqrt{3}\), равна \(\sqrt{147}\).