Какова длина медианы треугольника АВС с вершинами в точках А(1;2), В(2;5) и С(5;4)?

Veselyy_Pirat

66

Чтобы найти длину медианы треугольника ABC с вершинами в точках A(1;2), B(2;5) и C(5;4), мы можем использовать формулу для длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат.

Давайте первым шагом найдем координаты точки, которая является серединой отрезка BC. Чтобы это сделать, мы просто берем среднее значение координат x и y точек B и C.

Координаты точки B(2;5) - это x=2 и y=5. Координаты точки C(5;4) - это x=5 и y=4.

Таким образом, координаты середины отрезка BC будут:

x-координата: \(\frac{{2+5}}{2} = \frac{7}{2}\)
y-координата: \(\frac{{5+4}}{2} = \frac{9}{2}\)

Таким образом, точка, которая является серединой отрезка BC, имеет координаты \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

Теперь у нас есть две точки - A(1;2) и Bсередина(7/2;9/2). Мы можем использовать формулу для длины отрезка между двумя точками, чтобы найти длину медианы треугольника АВС.

Формула для длины отрезка между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}\]

Подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{\left(\frac{7}{2}-1\right)^2 + \left(\frac{9}{2}-2\right)^2}\]

Упростим:

\[d = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2}\]

\[d = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}}\]

\[d = \sqrt{\frac{50}{4}}\]

\[d = \sqrt{\frac{25}{2}}\]

\[d = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}\]

\[d = \frac{5}{\sqrt{2}}\]

Хотя это и является упрощенным численным выражением, мы можем приближенно вычислить значение, домножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\).

Таким образом, длина медианы треугольника АВС составляет приблизительно \(5\sqrt{2}\) (единиц длины).