Какова длина меньшей диагонали ромба, если острый угол равен 60° и периметр составляет 31,2

Шмель

70

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале воспользуемся свойствами ромба. Нам известно, что все стороны ромба равны между собой, а углы при основании ромба являются прямыми.

Пусть сторона ромба равна a. Так как у нас есть острый угол в 60°, то другой острый угол также равен 60°. Мы должны найти длину меньшей диагонали, которая является отрезком, расположенным между двумя углами в 60°.

Мы можем разделить ромб на два равнобедренных треугольника с углом 60°, где основание каждого треугольника - это сторона ромба. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник.

Мы знаем, что сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°. Значит, третий угол также будет равен 180° - 60° - 90° = 30°.

В прямоугольном треугольнике мы можем применить основные свойства тригонометрии. Мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

В нашем случае, длина противолежащего катета это половина длины меньшей диагонали, а длина прилежащего катета это сторона ромба a.

Тангенс угла 30° = противолежащий катет / прилежащий катет = x / (a/2).

Также у нас есть формула для нахождения периметра ромба: P = 4a.

По условию задачи периметр равен 31,2, значит 4a = 31,2.

Теперь мы можем решить систему уравнений. Для этого найдем a из второго уравнения и подставим его в первое уравнение.

4a = 31,2
a = 31,2 / 4
a = 7,8

После нахождения a, мы можем найти x из первого уравнения:

тангенс 30° = x / (7,8/2)
√3/3 = x / (7,8/2)

Теперь решим это уравнение:

x = (√3/3) * (7,8/2)
x = (√3 * 7,8) / (3 * 2)
x = (22,716 / 6)
x ≈ 3,786

Таким образом, длина меньшей диагонали ромба составляет около 3,786 единицы длины.