Какова длина меньшей диагонали ромба, если сумма ее углов равна 120°, а периметр ромба составляет

Pavel

29

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, рассмотрим, как связаны углы ромба с его диагоналями. В ромбе, противоположные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°.

2. По условию задачи, сумма углов ромба равна 120°. Значит, каждый угол ромба равен \( \frac{{120°}}{4} = 30° \). Поскольку противоположные углы в ромбе равны, оба угла, примыкающие к меньшей диагонали, равны 30°.

3. Теперь мы можем применить свойство треугольника и построить прямоугольный треугольник, где катетами будут половины длин большей и меньшей диагоналей ромба, а гипотенузой - одна из сторон ромба.

4. Треугольник можно разделить на два равнобедренных треугольника, где катетом будет половина длины меньшей диагонали ромба, а гипотенузой - одна из сторон ромба. Равнобедренные треугольники имеют равные углы при основании.

5. В нашем случае, основанием треугольника является одна из сторон ромба, а угол при основании равен 30°, потому что он примыкает к меньшей диагонали.

6. Используем тригонометрическую функцию тангенса, чтобы найти значение равнобедренного треугольника:

\[
\tan(\text{{угол при основании}}) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилегающий катет}}}}
\]

7. Заметим, что противоположный катет - это половина длины меньшей диагонали ромба, а прилегающий катет - это половина длины одной из сторон ромба.

8. Таким образом, мы имеем следующее уравнение для тангенса:

\[
\tan(30°) = \frac{{\frac{{\text{{длина меньшей диагонали}}}}{2}}}{{\frac{{\text{{периметр ромба}}}}{4}}}
\]

9. Подставим известные данные: угол 30° и периметр ромба в данном случае.

\[
\tan(30°) = \frac{{\frac{{\text{{длина меньшей диагонали}}}}{2}}}{{\frac{{\text{{периметр ромба}}}}{4}}}
\]

10. Теперь можем решить это уравнение, чтобы найти длину меньшей диагонали:

\[
\text{{длина меньшей диагонали}} = \frac{{\tan(30°) \cdot \text{{периметр ромба}}}}{2}
\]