Какова длина меньшей из дуг, которые стягиваются хордой, проведенной в окружности длиной 40п и отстоящей от центра

Пушик

7

Конечно! Для начала построим диаграмму, чтобы визуализировать задачу.


Мы имеем окружность с центром O и радиусом r. Проведена хорда AB длиной 40 пикселей, которая находится на расстоянии 10 пикселей от центра O. Наша задача - найти длину меньшей из двух дуг, которые стягиваются хордой AB.

Для решения этой задачи мы можем использовать знания о свойствах окружности. В данном случае, мы можем воспользоваться теоремой про длину дуги.

Теорема гласит, что длина дуги одного сектора окружности, который ограничен хордой и соответствующими радиусами, равна произведению отношения центрального угла сектора к 360 градусам и длине окружности целиком.

Используем эту теорему для нахождения длины дуги:

1. Найдем длину окружности целиком.
Длина окружности равна \(2 \pi r\), где \(r\) - радиус окружности.
В нашем случае, радиус \(r\) равен \(10 + 40/2 = 30\) пк (поскольку хорда AB находится на расстоянии 10 пк от центра и имеет длину 40 пк).
Таким образом, длина окружности равна \(2 \pi \cdot 30 = 60 \pi\) пк.

2. Найдем центральный угол сектора, ограниченного хордой AB.
Центральный угол сектора можно рассчитать, используя радиус и длину хорды.
Для этого нам нужно найти длину отрезка BO.

Обратите внимание, что хорда AB разделяет окружность на два сектора.
Меньший сектор будет иметь центральный угол, равный удвоенному углу между хордой AB и любой из двух радиусов, проведенных к ее концам.
Из свойства симметрии окружности и треугольника, очевидно, что угол между радиусом и хордой равен половине центрального угла сектора.

Итак, угол между радиусом и хордой AB равен \(\dfrac{УголAOC}{2}\), где угол AOC - центральный угол сектора.
Теперь давайте найдем этот угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA, где угол OAB является прямым углом.
Мы знаем, что длина хорды AB равна 40 пк, а расстояние между центром O и хордой равно 10 пк.
Применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину отрезка BO.

Длина отрезка BO равна \(\sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{40^2 - 10^2} = \sqrt{1500} = 10\sqrt{15}\) пк.

Теперь мы можем найти угол AOC, используя прямоугольный треугольник OBO.
Применим теорему тангенса, чтобы найти этот угол.

\(\tan(\angle AOC) = \dfrac{10\sqrt{15}}{30}\)
\(\angle AOC = \arctan(\dfrac{10\sqrt{15}}{30}) = \arctan(\dfrac{\sqrt{15}}{3})\)

Получили значение этого угла.

3. Теперь мы можем найти длину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB.
Длина меньшей дуги равна длине сектора, который ограничен хордой AB.
Используя наш центральный угол AOC и длину окружности целиком, мы можем найти эту длину.

Длина меньшей дуги равна \(\dfrac{\angle AOC}{360} \cdot 60 \pi\).

Подставив значение угла AOC, полученное на предыдущем шаге, мы можем рассчитать длину меньшей дуги.

Давайте расчитаем длину меньшей дуги:

\(\text{Длина меньшей дуги} = \dfrac{\arctan(\dfrac{\sqrt{15}}{3})}{360} \cdot 60 \pi\) пк.

Подставляем значение угла AOC в формулу и рассчитываем:

\(\text{Длина меньшей дуги} \approx \dfrac{4,7}{360} \cdot 60 \pi \approx 0,082 \pi\) пк.

Таким образом, длина меньшей из двух дуг, которые стягиваются хордой AB, примерно равна \(0,082 \pi\) пикселя.