Какова длина образующей конуса, если его объем равен 100π см³ и площадь основания составляет 25π см²? Приведены решение

Звездная_Тайна

61

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулами для объема и площади основания конуса.

Объем конуса \[V\] находится по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\],
где \[r\] - радиус основания конуса, \[h\] - высота конуса.

Площадь основания конуса \[S\] находится по формуле:
\[S = \pi \times r^2\].

У нас дано, что объем конуса равен 100π см³ и площадь основания составляет 25π см². Подставим эти значения в соответствующие формулы:

100π = \(\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\) (1)
25π = π \times r^2 (2)

Для начала, упростим формулу (2), разделив обе части на π:
25 = r^2

Теперь возьмем полученное значение r^2 и подставим его в формулу (1):
100π = \(\frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times h\)

Упростим это уравнение, сократив π:
100 = \(\frac{1}{3} \times 25 \times h\)

Далее, упростим дробь:
100 = \(\frac{25}{3} \times h\)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
300 = 25h

Теперь разделим обе части на 25:
12 = h

Таким образом, мы нашли значение высоты конуса - оно равно 12 см.

Для того, чтобы найти длину образующей конуса, воспользуемся теоремой Пифагора. По этой теореме, длина образующей равна \[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]. Подставим наши значения:
\[l = \sqrt{25 + 12^2}\],

Выполним вычисления:
\[l = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}\],
\[l = 13\].

Таким образом, длина образующей конуса равна 13 см.