Какова длина общей хорды, если радиус окружности составляет

Artemovna_1166

2

Если радиус окружности составляет \(R\), а длина общей хорды составляет \(x\), то чтобы найти \(x\), мы можем использовать теорему о перпендикулярных хордах.

Теорема о перпендикулярных хордах гласит, что произведение длин двух перпендикулярных хорд внутри окружности равно произведению длин их отрезков.

В данном случае, если мы разделим общую хорду на два отрезка, длина которых составляет \(a\) и \(b\), то имеем:

\(x = a + b\)

Также, из теоремы о перпендикулярных хордах следует:

\(a \cdot b = R^2\)

Из этих двух уравнений мы можем выразить одну переменную через другую и найти значение длины общей хорды.

Для начала, выразим \(b\) через \(a\):

\(b = \frac{{R^2}}{{a}}\)

Подставим это значение в уравнение для \(x\):

\(x = a + \frac{{R^2}}{{a}}\)

Теперь давайте найдём значение \(a\), которое минимизирует длину общей хорды \(x\). Для этого нам нужно найти минимум функции \(x(a)\). Для нахождения минимума функции, мы можем взять производную и приравнять её к нулю.

\(\frac{{dx}}{{da}} = 1 - \frac{{R^2}}{{a^2}} = 0\)

Решим это уравнение:

\(a^2 = R^2\)

Извлекая корень, получим:

\(a = R\)

Теперь, подставим значение \(a = R\) обратно в уравнение для \(x\):

\(x = R + \frac{{R^2}}{{R}} = R + R = 2R\)

Таким образом, длина общей хорды (\(x\)) равна \(2R\) при радиусе окружности \(R\).