1 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка М находится на стороне BD, где ВМ = МО, АВ = m

Poyuschiy_Homyak

30

1. Чтобы выразить вектор ВМ через векторы m и n, нам необходимо использовать свойства параллелограмма и применить правило параллелограмма для сложения векторов.

Мы знаем, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам:

\[ВО = OM\]

Также, согласно правилу параллелограмма, сумма векторов, образующих стороны параллелограмма, равна нулевому вектору:

\[AB + BC + CD + DA = 0\]

Разложим векторы AB и CD на составляющие:

\[AB = AM + MB\]
\[CD = CO + OD\]

Так как диагонали в параллелограмме имеют точку пересечения O, то AM = CO и BM = OD. Тогда:

\[AB = CO + MB\]
\[CD = AM + OD\]

Подставим выражения для AB и CD в равенство:

\[AB + BC + CD + DA = 0\]
\[(CO + MB) + BC + (AM + OD) + DA = 0\]

Так как BC = -DA, то выражение преобразуется в:

\[CO + MB - DA + AM + OD = 0\]

Теперь введем обозначения m и n для векторов AM и CO соответственно:

\[AM = m\]
\[CO = n\]

Используя это, мы можем переписать выражение:

\[n + MB - DA + m + OD = 0\]

Теперь мы можем выразить вектор BM (или ВМ) через векторы m и n:

\[BM = -MB = DA - OD - n - m\]

Подставим значения векторов DA и OD:

\[BM = -MB = b - \frac{1}{2}(a + b + c) - n - m\]

Таким образом, вектор BM может быть выражен через векторы m и n следующим образом:

\[BM = b - \frac{1}{2}(a + b + c) - n - m\]

2. Чтобы разложить вектор ВМ по векторам а, b и с, мы воспользуемся свойством векторов, где сумма векторов равна вектору, соединяющему конечную и начальную точки.

В данном случае, мы имеем вектор ВМ и хотим разложить его по векторам а, b и с. Мы также знаем, что KA = KC, и MD = \(\frac{1}{2}\)KD.

Тогда, разложим вектор ВМ следующим образом:
\[ВМ = ВК + КМ\]

Вектор ВК можно разложить по вектору а:
\[ВК = \frac{1}{2}а\]

Вектор КМ можно разложить по векторам b и с:
\[КМ = \frac{1}{2}MD + DM\]
\[КМ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}KD) + DM\]
\[КМ = \frac{1}{4}KD + DM\]
\[КМ = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}(D - A)) + DM\]
\[КМ = \frac{1}{8}(D - A) + DM\]
\[КМ = \frac{1}{8}D - \frac{1}{8}A + DM\]

Таким образом, вектор ВМ может быть разложен по векторам а, b и с следующим образом:
\[ВМ = \frac{1}{2}а + \frac{1}{8}D - \frac{1}{8}A + DM\]

3. Для того чтобы найти координаты вектора р, мы должны применить операции сложения и умножения вектора на число.

Из заданных векторов а, b и с нам нужно вычислить 2а - 3b - с.

Операция умножения вектора на число применяется ко всем его компонентам. Таким образом:

\[2а = 2 \cdot (1; -2; 0) = (2; -4; 0)\]
\[3b = 3 \cdot (3; -6; 0) = (9; -18; 0)\]
\[с = (0; -3; 4)\]

Теперь выполним операции сложения и вычитания:

\[2а - 3b - с = (2; -4; 0) - (9; -18; 0) - (0; -3; 4)\]
\[2а - 3b - с = (2 - 9 - 0; -4 + 18 + 3; 0 - 0 - 4)\]
\[2а - 3b - с = (-7; 17; -4)\]

Таким образом, координаты вектора р равны (-7, 17, -4).

4. Чтобы найти угол φ между векторами AD1 и ВМ, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\phi)\]

где \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов a и b, \(\phi\) - угол между векторами.

Вектор AD1 можно разложить на два вектора: AD и DD1, так как AD1 является диагональю куба.

Вектор ВМ можно также разложить на два вектора: VM и MD1, так как ВМ является диагональю ребра куба.

Таким образом, угол между векторами AD1 и ВМ можно найти, вычислив угол между векторами AD и VM.

Найдем сначала скалярное произведение векторов AD и VM:

\[AD \cdot VM = |AD| \cdot |VM| \cdot \cos(\phi_1)\]

Затем найдем длины векторов AD и VM:

\[|AD| = \sqrt{(A_x - D_x)^2 + (A_y - D_y)^2 + (A_z - D_z)^2}\]
\[|VM| = \sqrt{(V_x - M_x)^2 + (V_y - M_y)^2 + (V_z - M_z)^2}\]

Также, необходимо вычислить координаты векторов AD и VM:

\[AD = D - A = (D_x - A_x, D_y - A_y, D_z - A_z)\]
\[VM = M - V = (M_x - V_x, M_y - V_y, M_z - V_z)\]

Подставим значения в формулу:

\[AD \cdot VM = \sqrt{(A_x - D_x)^2 + (A_y - D_y)^2 + (A_z - D_z)^2} \cdot \sqrt{(V_x - M_x)^2 + (V_y - M_y)^2 + (V_z - M_z)^2} \cdot \cos(\phi_1)\]

Аналогично вычислим скалярное произведение для векторов AD и VM:

\[AD \cdot VM = |AD| \cdot |VM| \cdot \cos(\phi_1)\]

Теперь у нас есть скалярное произведение AD и VM, а также длины векторов. Мы можем найти угол \(\phi_1\) между этими векторами, используя формулу:

\[\cos(\phi_1) = \frac{AD \cdot VM}{|AD| \cdot |VM|}\]

Окончательно, угол \(\phi_1\) между векторами AD и VM будет равен:

\[\phi_1 = \arccos\left(\frac{AD \cdot VM}{|AD| \cdot |VM|}\right)\]

Теперь у нас есть угол \(\phi_1\), который является углом между векторами AD и VM. Чтобы найти угол между векторами AD1 и ВМ (угол \(\phi\)), нужно учесть, что векторы AD и ВМ являются половинами соответствующих диагоналей:

\[\phi = 2 \cdot \phi_1\]

Таким образом, угол между векторами AD1 и ВМ будет равен \(2 \cdot \phi_1\).