Какова длина окружности и площадь круга, вписанного в данный правильный треугольник со стороной

Morskoy_Kapitan

60

Чтобы найти длину окружности и площадь круга, вписанного в данный правильный треугольник, нам понадобятся некоторые математические формулы и свойства.

Для начала, давайте определимся с обозначениями. Пусть сторона правильного треугольника равна \(a\). Также пусть \(r\) будет радиусом вписанного в треугольник круга.

Длина окружности можно найти с использованием формулы \(C = 2\pi r\), где \(\pi\) (пи) — это приближенное значение числа, которое равно примерно 3.14.

Площадь круга можно найти с использованием формулы \(S = \pi r^2\).

Теперь рассмотрим альтернативный подход к решению этой задачи. Рассмотрим биссектрису \(BD\) треугольника \(ABC\), где точка \(D\) — это точка касания круга с стороной треугольника. Также обозначим за \(E\) середину стороны \(AC\).

Поскольку треугольник \(ABC\) является правильным, то биссектриса \(BD\) будет одновременно являться медианой, высотой и перпендикуляром. Это означает, что точка \(D\) делит сторону \(AC\) пополам и является высотой и медианой треугольника. То есть, отрезки \(AD\) и \(CD\) равны между собой и равны половине стороны треугольника, т.е. \(AD = CD = \frac{a}{2}\).

Теперь, зная радиус \(r\) круга, мы можем определить его через отрезок \(AD\). Радиус \(r\) является расстоянием от центра круга до касательной (в данном случае, это отрезок \(AD\)). Так как отрезок \(AD\) делит биссектрису \(BD\) на две равные части, можно заметить, что треугольник \(ABD\) является равнобедренным.

Зная, что \(AD = \frac{a}{2}\), мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(ABD\), чтобы выразить радиус \(r\). Так как треугольник \(ABD\) равнобедренный, можно сказать, что \(BD = \frac{a}{2}\) и \(AB = AD\). Тогда с помощью теоремы Пифагора получим:

\[r^2 = AB^2 - BD^2 = AD^2 - BD^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\]

Теперь мы имеем выражение для радиуса \(r\): \(r = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}\).

Подставим это значение радиуса в формулы для длины окружности и площади круга:

\[C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a\]
\[S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\]

Таким образом, мы получили, что длина окружности \(C\) равна \(\pi a\), а площадь круга \(S\) равна \(\frac{\pi a^2}{4}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти длину окружности и площадь круга, вписанного в данный правильный треугольник со стороной \(a\). Если у вас возникли ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!