Какова длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4 см, 5 см и

Ten

23

Для решения задачи, давайте вспомним одну из свойств треугольников, а именно теорему косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин остальных двух сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Применим эту теорему к нашему треугольнику. Пусть стороны треугольника соответствуют отрезкам \(a\), \(b\) и \(c\), а углы между ними обозначим как \(A\), \(B\) и \(C\). Тогда в нашем случае, \(a = 4\), \(b = 5\) и \(c\) - это искомая длина окружности.

Давайте сначала найдем угол \(C\). Используя закон косинусов, мы можем записать следующее:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Подставим известные значения:

\[c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(C)\]

Упростим выражение:

\[c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos(C)\]

\[c^2 = 41 - 40 \cdot \cos(C)\]

Теперь давайте найдем угол \(C\). Для этого мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов является постоянным:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Мы знаем длины сторон \(a\) и \(b\), а также углы \(A\) и \(B\):

\(\frac{4}{\sin(A)} = \frac{5}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Следовательно, мы можем записать:

\(c = \frac{4 \cdot \sin(C)}{\sin(A)}\)

Теперь мы можем подставить это значение в предыдущее выражение:

\(\left(\frac{4 \cdot \sin(C)}{\sin(A)}\right)^2 = 41 - 40 \cdot \cos(C)\)

Упростим выражение:

\(\frac{16 \cdot \sin^2(C)}{\sin^2(A)} = 41 - 40 \cdot \cos(C)\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(\cos(C)\):

\(16 \cdot \sin^2(C) = (41 - 40 \cdot \cos(C)) \cdot \sin^2(A)\)

\(16 \cdot \sin^2(C) = 41 \cdot \sin^2(A) - 40 \cdot \cos(C) \cdot \sin^2(A)\)

\(\cos(C) \cdot \sin^2(A) + 16 \cdot \sin^2(C) = 41 \cdot \sin^2(A)\)

\(\cos(C) \cdot \sin^2(A) + 16 \cdot (1 - \cos^2(C)) = 41 \cdot \sin^2(A)\)

\(\cos(C) \cdot \sin^2(A) + 16 - 16 \cdot \cos^2(C) = 41 \cdot \sin^2(A)\)

\(16 \cdot \cos^2(C) + \cos(C) \cdot \sin^2(A) = 41 \cdot \sin^2(A) - 16\)

Приведем подобные слагаемые:

\(16 \cdot \cos^2(C) + \cos(C) \cdot \sin^2(A) - 41 \cdot \sin^2(A) = -16\)

Введем замену \(\sin^2(A) = 1 - \cos^2(A)\):

\(16 \cdot \cos^2(C) + \cos(C) \cdot (1 - \cos^2(A)) - 41 \cdot (1 - \cos^2(A)) = -16\)

Раскроем скобки:

\(16 \cdot \cos^2(C) + \cos(C) - \cos(C) \cdot \cos^2(A) - 41 + 41 \cdot \cos^2(A) = -16\)

Упростим выражение:

\(16 \cdot \cos^2(C) + 41 \cdot \cos^2(A) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) - 41 = -16\)

Выразим \(\cos(C)\):

\(15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 = 0\)

\(\cos^2(C) \cdot (15 - \cos^2(A)) + \cos(C) + 25 = 0\)

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение относительно \(\cos(C)\). Полученное уравнение может быть сложным для аналитического решения, поэтому давайте воспользуемся графическим методом для приближенного решения.

Составим таблицу значений \(\cos(C)\) и вычислим значения выражения \(15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25\) для каждого значения:

\[
\begin{align*}
\cos(C) &= -1, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx 40 \\
\cos(C) &= -0.8, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx -4.82 \\
\cos(C) &= -0.6, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx -1.15 \\
\cos(C) &= -0.4, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx 4.80 \\
\cos(C) &= -0.2, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx 9.40 \\
\cos(C) &= 0, & 15 \cdot \cos^2(C) - \cos^2(C) \cdot \cos^2(A) + \cos(C) + 25 &\approx 15 \\
\end{align*}
\]

Из таблицы мы видим, что значение \(\cos(C)\) близко к 0. Подставим это значение в исходную формулу и найдем \(\sin(C)\):

\(\frac{4 \cdot \sin(C)}{\sin(A)} = c\)

\(\frac{4 \cdot \sin(C)}{\sin(A)} = c\)

\(\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{4}\)

Подставим известные значения:

\(\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{4}\)

\(\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{4}\)

\(\sin(C) = \frac{5 \cdot \sin(A)}{4}\)

Теперь мы можем найти \(\sin(C)\) с помощью таблицы значений синуса для различных углов. Так как \(\cos(C)\) близко к 0, предположим, что \(\sin(C)\) также будет близко к 0. Воспользовавшись таблицей синусов, мы можем сделать вывод, что ближайшее значение синуса к 0 равно 0. Мы можем проверить это значение, используя теорему Пифагора:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\)

Подставим известные значения:

\(c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(C)\)

Упростим выражение:

\(c^2 = 41 - 40 \cdot \cos(C)\)

Так как \(\cos(C)\) близко к 0, мы можем сказать, что \(c^2\) также близко к 41. Воспользуемся квадратным корнем, чтобы найти \(c\):

\(c \approx \sqrt{41}\)

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4 см, 5 см и около 6.4 см (приближенно).