Какова длина отрезка BD в треугольнике ABC, где AB = 5 см, BC = 7 см и CA = 4 см, если точка D находится на стороне

Сквозь_Холмы

25

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать две теоремы, именно теорему о касательной и теорему Менелая.

Вспомним, что окружность, вписанная в треугольник, касается стороны треугольника в точке касания. Исходя из этого, мы можем сделать два следующих наблюдения:

1. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается стороны BD в точке касания, обозначим эту точку как X.
2. Окружность, вписанная в треугольник ADC, касается стороны CD в точке касания, также обозначим эту точку как X.

Теперь применим теорему Менелая для отрезка AD, разделенного точкой касания X:

\(\frac{{BX}}{{XD}} \cdot \frac{{DA}}{{AC}} \cdot \frac{{CX}}{{XB}} = 1\)

Мы знаем, что AC = 4 см, поэтому:

\(\frac{{BX}}{{XD}} \cdot \frac{{DA}}{{4}} \cdot \frac{{CX}}{{XB}} = 1\)

Теперь рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ADC. Так как она касается стороны CD в точке X, то мы можем сказать, что треугольник BXC равнобедренный, и BX = CX.

Подставим BX = CX в уравнение:

\(\frac{{BX}}{{XD}} \cdot \frac{{DA}}{{4}} \cdot \frac{{BX}}{{BX}} = 1\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{{BX}}{{XD}} \cdot \frac{{DA}}{{4}} = 1\)

Теперь рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ABD. Мы знаем, что точка X - это также точка касания этой окружности с отрезком AD, поэтому BD = XD.

Заменим BD на XD в уравнении:

\(\frac{{BX}}{{BD}} \cdot \frac{{DA}}{{4}} = 1\)

Мы знаем, что AB = 5 см, поэтому длина отрезка AD равна 5 см - XD.

Заменим DA на 5 - XD:

\(\frac{{BX}}{{BD}} \cdot \frac{{5 - XD}}{{4}} = 1\)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной - XD. Решим его:

\(\frac{{BX}}{{BD}} \cdot (5 - XD) = 4\)

\(\frac{{BX}}{{BD}} \cdot XD = 5 - 4\)

\(\frac{{BX}}{{BD}} \cdot XD = 1\)

Теперь рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ABD. Мы знаем, что точка X - это точка касания этой окружности с отрезком BD. Так как X - это точка касания окружности, то BD является диаметром окружности.

Зная это, мы можем заменить BD на 2 \(\cdot\) BX:

\(\frac{{BX}}{{2 \cdot BX}} \cdot XD = 1\)

\(\frac{{1}}{{2}} \cdot XD = 1\)

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

XD = 2

Таким образом, длина отрезка XD равна 2 см. Отрезок BD равен двойной длине отрезка XD:

BD = 2 \(\cdot\) 2 = 4 см.

Таким образом, длина отрезка BD в треугольнике ABC равна 4 см.