Какова длина отрезка DP в прямоугольнике ABCD, если известно, что окружность, проходящая через точки А и D, касается

Magiya_Zvezd

47

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства прямоугольников и окружностей.

Давайте начнем с построения схемы. Нарисуем прямоугольник ABCD, где АС является диагональю, а ДР - отрезком, который мы и ищем. Нам также известно, что окружность, проходящая через точки А и D, касается прямой CD и пересекает диагональ АС в точке Р.

Теперь, чтобы найти длину отрезка DP, нам нужно использовать свойства окружности, прямоугольника и треугольника.

Сначала обратимся к свойству касательной к окружности. В точке касания касательной с окружностью, образуется прямой угол. Значит, у нас имеется прямоугольный треугольник ПРD, где PD является гипотенузой.

Затем мы можем использовать свойство подобных треугольников. Для этого рассмотрим треугольники ПРD и АСD. Они подобны, так как оба имеют прямой угол и углы ПDR и CDA равны в силу вертикальных углов.

Теперь применим свойство пропорциональности подобных треугольников. Имеем: \(\frac{{PD}}{{AD}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Из условия задачи нам известно, что значением АР является 3 и АВ равно 9/10. Так как в треугольнике АРВ вершинами являются А, В и Р, а РДC - прямоугольный треугольник, мы можем записать пропорцию \(\frac{{PD}}{{AD}} = \frac{{DR}}{{CD}}\) следующим образом:

\(\frac{{3}}{{9/10}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Для удобства решения задачи, поделим 3 на 1/10, что будет эквивалентно умножению на 10/1:

\(\frac{{3 \cdot 10}}{{9/10}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Теперь произведем несложные вычисления в левой части равенства:

\(\frac{{30}}{{9/10}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Для деления на дробь, умножим делимое на обратную дробь:

\(\frac{{30}}{{9/10}} = \frac{{30}}{{9}} \cdot \frac{{10}}{{1}} = \frac{{300}}{{9}}\).

Итак, получаем, что \(\frac{{300}}{{9}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Упростим дробь в левой части равенства:

\(\frac{{300}}{{9}} = \frac{{DR}}{{CD}}\) можно записать как \(33 \frac{{3}}{{9}} = \frac{{DR}}{{CD}}\).

Теперь мы знаем, что \(\frac{{DR}}{{CD}} = 33 \frac{{3}}{{9}}\).

Это значение смешанной дроби может быть упрощено. Мы видим, что 3 и 9 делятся на 3:

\(33 \frac{{3}}{{9}} = 33 \frac{{1}}{{3}}\).

Значит, \(\frac{{DR}}{{CD}} = 33 \frac{{1}}{{3}}\).

Теперь, чтобы найти длину отрезка DP, нам нужно узнать соотношение между отрезками DR и PD. Вспомним, что PD является гипотенузой прямоугольного треугольника ПРD. Это означает, что отношение DR к PD равно \(\sqrt{{1 + (\frac{{DR}}{{CD}})^2}}\).

Подставим значение \(\frac{{DR}}{{CD}} = 33 \frac{{1}}{{3}}\) в это уравнение:

\(\sqrt{{1 + (\frac{{33 \frac{{1}}{{3}}}}{{1}})^2}}\).

Упростим \(\frac{{33 \frac{{1}}{{3}}}}{{1}}\) до несмешанной дроби:

\(\frac{{33 \frac{{1}}{{3}}}}{{1}} = \frac{{100}}{{3}}\).

Теперь мы можем записать уравнение в таком виде:

\(\sqrt{{1 + (\frac{{100}}{{3}})^2}}\).

Вычислим значение \((\frac{{100}}{{3}})^2\):

\((\frac{{100}}{{3}})^2 = \frac{{10000}}{{9}}\).

Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

\(\sqrt{{1 + \frac{{10000}}{{9}}}}\).

Находим сумму 1 и \(\frac{{10000}}{{9}}\):

\(1 + \frac{{10000}}{{9}} = \frac{{10009}}{{9}}\).

Теперь извлечем квадратный корень из \(\frac{{10009}}{{9}}\):

\(\sqrt{{\frac{{10009}}{{9}}}}\).

Это остается в таком виде, так как корень из дроби не может быть упрощен:

\(\sqrt{{\frac{{10009}}{{9}}}}\).

Таким образом, получаем ответ: длина отрезка DP в прямоугольнике ABCD равна \(\sqrt{{\frac{{10009}}{{9}}}}\).