Какова длина отрезка между точками а и б, если кратчайшее расстояние от точки б до сферы составляет 24 к и проведена

Ledyanoy_Vzryv_9385

68

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые свойства геометрии и алгебры. Давайте рассмотрим шаги решения:

Шаг 1: Построение схемы задачи.
Построим ось координат, где точка А будет лежать на сфере, а точка Б будет находиться вне сферы, так что расстояние от точки Б до сферы будет минимальным. Мы также проведем касательную плоскость через точку А, пересекающую сферу в некоторой точке С. Далее, в этой плоскости выберем точку Б. Предположим, что координаты точек А, Б и С на схеме равны \((x_A, y_A, z_A)\), \((x_B, y_B, z_B)\) и \((x_C, y_C, z_C)\) соответственно.

Шаг 2: Найдем уравнение сферы.
Так как точка А лежит на сфере, то ее координаты должны удовлетворять уравнению сферы. Пусть радиус сферы равен R, тогда уравнение сферы имеет вид:
\[(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2\]

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости.
Поскольку плоскость проходит через точку А и касается сферы в точке С, то она будет перпендикулярна радиусу сферы, проведенному из точки С. Поэтому уравнение плоскости имеет вид:
\(x(x_A - x_C) + y(y_A - y_C) + z(z_A - z_C) = 0\)

Шаг 4: Находим координаты точки С.
Так как точка С лежит на сфере и на плоскости, подставим координаты точки С в уравнения сферы и плоскости и решим их вместе. Полученные уравнения можно решить методом подстановки или путем исключения одной из переменных. Если мы решили уравнения правильно, то мы должны получить значения \(x_C, y_C\) и \(z_C\).


Шаг 5: Рассчитываем длину отрезка AB.
Теперь, когда мы нашли координаты точки С, можем рассчитать расстояние между точками А и Б с использованием формулы расстояния между двумя точками в пространстве. Пусть \(d\) - длина отрезка AB, тогда формула для расчета длины отрезка имеет вид:
\[d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]

Шаг 6: Подставляем известные значения и находим длину отрезка AB.
В данном случае, мы знаем, что кратчайшее расстояние от точки Б до сферы составляет 24 к, поэтому значение расстояния от точки Б до точки С будет равно 24. Кроме того, мы также знаем координаты точки А на сфере. Подставив эти значения в формулу из шага 5, можно найти длину отрезка AB.


Итак, приведем все шаги в краткой форме:
1. Построить схему задачи и определить координаты точек А, Б и С.
2. Записать уравнение сферы, используя координаты точки А и радиус R.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и касающейся сферы в точке С, используя координаты точек А и С.
4. Найти координаты точки С, решив систему уравнений сферы и плоскости.
5. Вычислить длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве и известные координаты точек А и Б.

Надеюсь, что этот подробный и пошаговый ответ поможет понять школьнику, как решить данную задачу. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!