Какова длина отрезка, соединяющего центр сферы с точкой пересечения плоскостей, если сфера с радиусом √18 касается этих

Putnik_Sudby

48

Чтобы решить эту задачу, мы должны разобраться в свойствах сферы и плоскостей. Давайте начнем с понимания, что такое радиус сферы.

Радиус сферы - это расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности. В данном случае, радиус сферы равен \(\sqrt{18}\).

Перейдем к понятию касания. Если сфера касается плоскостей, это означает, что точка касания лежит как на поверхности сферы, так и на плоскостях. Также, касательная плоскость к сфере всегда проходит через центр сферы.

Таким образом, для нахождения длины отрезка, соединяющего центр сферы с точкой пересечения плоскостей, нам нужно найти расстояние от центра сферы до точек касания.

Для начала нам нужно найти точку пересечения плоскостей. Плоскости, касающиеся сферы, являются касательными и поэтому перпендикулярны к радиусам сферы. Значит, они должны быть перпендикулярны друг к другу. Если две плоскости имеют уравнения \(ax + by + cz + d_1 = 0\) и \(ax + by + cz + d_2 = 0\), то их нормали \((a, b, c)\) и \((a, b, c)\) должны быть перпендикулярными. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[(a, b, c) \cdot (a, b, c) = 0\]

У нас нет информации о конкретных уравнениях плоскостей, поэтому мы продолжим наш расчет с общими уравнениями \(ax + by + cz + d_1 = 0\) и \(ax + by + cz + d_2 = 0\).

Используя свойство перпендикулярности нормалей плоскостей, мы можем записать следующее уравнение:

\[(a, b, c) \cdot (a, b, c) = 0\]
\[a^2 + b^2 + c^2 = 0\]

Теперь мы можем приступить к нахождению точки пересечения плоскостей. Подставим общее уравнение плоскостей в уравнение сферы:

\[(a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d_1)^2 + (a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d_2)^2 = (\sqrt{18})^2\]

Разложим в квадрат скобки в левой части уравнения и упростим выражение:

\[a^2 x^2 + 2abxy + 2acxz + 2adx + b^2 y^2 + 2bcyz + 2bdy + c^2 z^2 + 2cdz + d_1^2 + a^2 x^2 + 2abxy + 2acxz + 2adx + b^2 y^2 + 2bcyz + 2bdy + c^2 z^2 + 2cdz + d_2^2 = 18\]

\[2(a^2 x^2 + b^2 y^2 + c^2 z^2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz + 2adx + 2bdy + 2cdz) + d_1^2 + d_2^2 = 18\]

Отбросим по 2 значения \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(2ab\), \(2ac\), \(2bc\), \(2ad\), \(2bd\) и \(2cd\), чтобы упростить выражение:

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2dx + 2dy + 2dz + \frac{d_1^2 + d_2^2 - 18}{2}= 0\]

На этом этапе у нас есть уравнение плоскости, в котором коэффициент при \(x\), \(y\) и \(z\) равен нулю. Это означает, что точка пересечения плоскостей является точкой их пересечения.

Для нахождения этой точки, мы можем выбрать две переменные и найти третью. Допустим, мы выбираем \(x = 0\) и \(y = 0\). Тогда у нас остается следующее уравнение:

\[z^2 + 2dz + \frac{d_1^2 + d_2^2 - 18}{2}= 0\]

Если мы решим это квадратное уравнение относительно \(z\), мы найдем два возможных значения \(z\): \(z_1\) и \(z_2\).

Иными словами, у нас есть две точки пересечения плоскостей, обозначим их как \(P_1\) и \(P_2\). Теперь нам нужно найти расстояние от каждой из этих точек до центра сферы.

Давайте назовем центр сферы \(C\). Используя теорему Пифагора, можно сказать, что

\[CP_1 = \sqrt{z_1^2 + (\sqrt{18})^2}\]
\[CP_2 = \sqrt{z_2^2 + (\sqrt{18})^2}\]

Это и будет длина отрезка, соединяющего центр сферы с точкой пересечения плоскостей.

Итак, в ответе нам нужно указать два возможных значения длины отрезка, то есть \(CP_1\) и \(CP_2\).