Какова длина пересечения поверхностей сфер с радиусами 4 см и 6 см, расположенных на расстоянии 5 см друг от друга?

Шнур

68

Для решения данной задачи, нам нужно найти длину пересечения поверхностей двух сфер с данными радиусами и расстоянием между ними.

Давайте проведем несколько шагов для решения задачи.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника, образованного двумя радиусами и прямой, соединяющей их центры.

Обозначим расстояние между центрами сфер как \(d\), радиус первой сферы как \(r_1\), радиус второй сферы как \(r_2\) и высоту треугольника как \(h\).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

\[r_1^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

\[r_2^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Шаг 2: Решим это уравнение относительно \(h\).

Вычитая первое уравнение из второго, мы получим:

\[r_2^2 - r_1^2 = h^2 - h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Упрощая выражение, мы получим:

\[(r_2^2 - r_1^2) = \frac{d^2}{4}\]

Шаг 3: Найдем \(h\), возводя обе части уравнения в квадрат:

\[h = \sqrt{\frac{d^2}{4} + r_1^2}\]

Шаг 4: Найдем длину пересечения сфер, используя формулу для длины окружности с радиусом \(r\):

\[L = 2 \pi r_1 \cos^{-1}\left(\frac{h}{r_1}\right)\]

Шаг 5: Подставим значения из задачи в формулу и рассчитаем длину пересечения.

Получим:

\[d = 5 \, \text{см}\]
\[r_1 = 4 \, \text{см}\]
\[r_2 = 6 \, \text{см}\]

Теперь подставим эти значения в формулы и рассчитаем длину пересечения:

\[\begin{align*}
h &= \sqrt{\frac{5^2}{4} + 4^2} \\
&= \sqrt{\frac{25}{4} + 16} \\
&= \sqrt{\frac{25 + 64}{4}} \\
&= \sqrt{\frac{89}{4}} \\
&= \frac{\sqrt{89}}{2} \, \text{см}
\end{align*}\]

Теперь, используя значение \(h\), мы можем рассчитать длину пересечения:

\[\begin{align*}
L &= 2 \pi r_1 \cos^{-1}\left(\frac{h}{r_1}\right) \\
&= 2 \pi \cdot 4 \cdot \cos^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{89}}{2}}{4}\right) \\
&\approx 2 \pi \cdot 4 \cdot \cos^{-1}(0.558) \\
&\approx 8 \pi \cdot 0.927 \\
&\approx 23.31 \, \text{см}
\end{align*}\]

Таким образом, длина пересечения поверхностей сфер составляет около 23.31 см.