Какова длина средней линии равнобедренной трапеции с углом 60°, боковой стороной 8 см и меньшим основанием

Olga_6285

52

Для решения данной задачи можно использовать теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение данных сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, у нас имеется равнобедренная трапеция, поэтому боковая сторона (трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны) равна 8 см, а угол между боковой стороной и основанием составляет 60°.

У нас есть следующая ситуация:

B
/ \
/ \
a / \ c
/ \
/_________\
b 

Где a и b - боковые стороны трапеции, c - меньшее основание трапеции.

Мы должны найти среднюю линию трапеции, которая является средним арифметическим двух оснований a и c.

Чтобы найти неизвестную сторону a, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ACD (где D - точка пересечения биссектрисы угла между боковой стороной и основанием с меньшим основанием C).

Применяя теорему косинусов к треугольнику ACD, имеем:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\angle ACD)\]

Угол ACD равен половине угла основания, то есть 60° ÷ 2 = 30°. Переводим угол в радианы: 30° * \(\frac{{\pi}}{{180°}}\).

Подставляем известные значения:

\[a^2 = 8^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

Теперь вспоминаем, что трапеция равнобедренная, а значит стороны a и b равны:

\[a = b = 8\]

Таким образом, можем переписать уравнение следующим образом:

\[8^2 = 8^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

\[0 = c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

\[c^2 - 16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) = 0\]

Формула квадратного уравнения выглядит следующим образом: \(ax^2 + bx + c = 0\), где a = 1, b = -16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right), c = 0.

Так как коэффициент a равен 1, можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0\]

\[D = 256c^2 \cdot \cos^2\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

После вычисления дискриминанта, можем найти корни уравнения:

\[x_1,2 = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

\[x_1,2 = \frac{{16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \pm \sqrt{256c^2 \cdot \cos^2\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[x_1,2 = \frac{{16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \pm \sqrt{256c^2 \cdot \cos^2\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)}}}{2}\]

\[x_1,2 = 8c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \pm \sqrt{64c^2 \cdot \cos^2\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)}\]

\[x_1,2 = 8c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \pm (8c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \cdot \sqrt{1})\]

\[x_1,2 = 8c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) \pm 8c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

\[x_1 = 16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right), \quad x_2 = 0\]

Мы получили два значения для x: 16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right) и 0. Заметим, что x2 = 0, что означает, что одно из оснований трапеции равно 0, что невозможно. Поэтому среднее основание трапеции равно 16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right).

Остается только найти значение данного выражения:

\[16c \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

\[16 \cdot 8 \cdot \cos\left(30° \cdot \frac{{\pi}}{{180°}}\right)\]

\[128 \cdot \cos\left(\frac{{\pi}}{{6}}\right)\]

Известно, что косинус 30° равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), и косинус \(\frac{{\pi}}{{6}}\) тоже равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\).

Теперь можем подставить значение:

\[128 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\]

Поделив числитель на знаменатель, получаем ответ:

\[64\sqrt{3} \approx 111,01 \, \text{см}\]

Таким образом, длина средней линии равнобедренной трапеции с углом 60°, боковой стороной 8 см и меньшим основанием составляет примерно 111,01 см.