Какова длина сторон прямоугольника, если его общая длина границ составляет 42 см, а площадь равна 68 см2?

Vladimir

26

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений, основанную на формулах для периметра и площади прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется как сумма длины всех его сторон. Мы знаем, что общая длина границ составляет 42 см, поэтому периметр равен 42 см. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника как \(a\) (в см), а ширину как \(b\) (в см).

Тогда периметр будет равен:
\[2a + 2b = 42\]

Площадь прямоугольника можно вычислить, умножив длину на ширину:
\[a \cdot b = 68\]

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (сторонами прямоугольника \(a\) и \(b\)). Давайте решим ее пошагово.

1. Из первого уравнения получим выражение для одной из сторон:
\[2a + 2b = 42\]
\[2a = 42 - 2b\]
\[a = 21 - b\]

2. Подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:
\[(21 - b) \cdot b = 68\]
\[21b - b^2 = 68\]

3. Перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить квадратное уравнение:
\[b^2 - 21b + 68 = 0\]

4. Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня.

Если мы факторизуем это уравнение, мы получим:
\[(b - 17)(b - 4) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(b\): \(b = 17\) или \(b = 4\).

5. Подставим каждое значение \(b\) в выражение для \(a\), чтобы найти соответствующие значения сторон прямоугольника.

Для \(b = 17\):
\[a = 21 - 17 = 4\]
Таким образом, у нас есть прямоугольник с длиной сторон 4 см и 17 см.

Для \(b = 4\):
\[a = 21 - 4 = 17\]
Таким образом, у нас есть прямоугольник с длиной сторон 17 см и 4 см.

Итак, длина сторон прямоугольника может быть или 4 см и 17 см, или 17 см и 4 см, чтобы удовлетворить условиям задачи.