Какова длина стороны AB треугольника ABC, если на рисунке известно, что вписанная окружность касается его сторон
Какова длина стороны AB треугольника ABC, если на рисунке известно, что вписанная окружность касается его сторон в точках M, K и P?
Артём 48
Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства вписанной окружности и касательной. Давайте посмотрим на рисунок и обозначим известные точки:\(A\) – вершина треугольника,
\(B\) – вторая вершина треугольника,
\(C\) – третья вершина треугольника,
\(M\) – точка касания вписанной окружности с стороной \(CB\),
\(K\) – точка касания вписанной окружности с стороной \(AC\).
Также обозначим длины сторон треугольника:
\(AB\) – длина стороны \(AB\),
\(BC\) – длина стороны \(BC\),
\(CA\) – длина стороны \(CA\).
Теперь мы можем приступить к решению задачи.
1. По свойству вписанной окружности можем сказать, что отрезки \(BM\) и \(AK\) являются радиусами окружности. Так как радиус окружности перпендикулярен касательной, то получаем, что треугольники \(AMK\) и \(BMC\) являются равнобедренными.
2. Из равенства сторон равнобедренных треугольников следует, что длины радиусов совпадают:
\[BM = AK\]
3. Теперь давайте рассмотрим отрезки \(AB\) и \(BK\). Они являются сторонами треугольника \(ABK\). Применим свойство равенства углов между касательной и хордой в окружности. Угол между \(BK\) и касательной в точке \(K\) равен углу \(B\), т.е. \(B\angle K = B\angle\). Аналогичным образом, угол между \(AB\) и касательной в точке \(K\) равен углу \(A\), т.е. \(A\angle K = A\angle\).
4. Так как углы при вершине треугольника \(ABK\) равны углам при его основаниях, то треугольник \(ABK\) также является равнобедренным.
5. Из равенства сторон равнобедренного треугольника следует, что:
\[AB = BK\]
Таким образом, мы получили, что \(AB = BK = BM = AK\).
Ответ: Длина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\) равна длине радиуса вписанной окружности, который также равен длине отрезка \(BM\) или длине отрезка \(AK\).