Какова длина стороны BC в треугольнике ABC, если известно, что AB = 13, AC = 8 и угол между ними равен 120°?

Барбос

4

Чтобы найти длину стороны BC в треугольнике ABC, мы можем использовать закон косинусов. Закон косинусов гласит, что квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин остальных двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В данной задаче мы знаем длины сторон AB и AC, а также угол между ними.

Пусть сторона BC обозначена как x. Применяя закон косинусов к треугольнику ABC, получаем:
\[x^2 = 13^2 + 8^2 - 2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot \cos(120°)\]

Для того чтобы решить эту задачу, вычислим значение \(\cos(120°)\). В основе этого расчета лежит треугольник со сторонами 13, 8 и x, в котором известен угол 120°. Обратите внимание, что внутренние углы треугольника всегда суммируются до 180°. В данной задаче у нас есть угол 120° и два других угла в треугольнике. Угол BAC можно найти, вычитая 120° из 180°:
\[180° - 120° = 60°\]

Теперь у нас имеется треугольник с двумя сторонами 13 и 8, и углом между ними 60°. Применяя закон косинусов снова, получаем:
\[x^2 = 13^2 + 8^2 - 2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot \cos(60°)\]

Теперь вычислим значения \(\cos(120°)\) и \(\cos(60°)\). Значение \(\cos(120°)\) равно \(-0.5\), а значение \(\cos(60°)\) равно \(0.5\). Подставляем эти значения в уравнение и получаем:
\[x^2 = 13^2 + 8^2 - 2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot (-0.5)\]

После выполнения всех расчетов получаем:
\[x^2 = 169 + 64 + 104\]
\[x^2 = 337\]

Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти значение x:
\[x = \sqrt{337}\]

Итак, длина стороны BC в треугольнике ABC равна \(\sqrt{337}\).