Какова длина стороны основания правильной треугольной пирамиды, если ее полная поверхность равна 27 корням из 3, а угол

Звонкий_Спасатель

5

Для начала найдем площадь основания правильной треугольной пирамиды. Поскольку пирамида правильная, то у нее основание имеет форму правильного треугольника. Пусть сторона основания равняется \(a\). Таким образом, площадь основания будет равна площади треугольника с стороной \(a\).
Площадь треугольника с основанием \(a\):
\[S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Так как у нас правильная пирамида, боковая поверхность состоит из четырех равносторонних треугольников. Площадь одного треугольника равна:
\[S_{\text{бок}} = \frac{L \times P}{2},\]

где \(L\) - длина боковой грани, \(P\) - периметр основания.

Так как пирамида правильная, длина боковой грани равна длине высоты треугольника основания:
\[L = a \sqrt{3}.\]

Также, так как угол между боковой гранью и основанием составляет 60 градусов, треугольник является прямоугольным с гипотенузой равной боковой грани, а одна из его сторон равна половине стороны основания:
\[P = 2a + a = 3a.\]

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:
\[S_{\text{бок}} = \frac{L \times P}{2} = \frac{a \sqrt{3} \times 3a}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}.\]

Теперь найдем полную площадь поверхности пирамиды:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3} + 6a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{7a^2 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3}.\]

Теперь решим уравнение:
\[\frac{7a^2 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3}.\]

Делим обе части на \(\sqrt{3}\):
\[\frac{7a^2}{4} = 27.\]

Умножаем обе части на 4/7:
\[a^2 = \frac{108}{7}.\]

И, наконец, находим длину стороны основания \(a\):
\[a = \sqrt{\frac{108}{7}} = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{6\sqrt{42}}{7}.\]

Итак, длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{6\sqrt{42}}{7}\).