Какова длина стороны правильного треугольника, если все его стороны касаются сферы диаметром 12 см, а плоскость

Чайник

68

У нас есть правильный треугольник, все его стороны касаются сферы диаметром 12 см, а плоскость треугольника находится на расстоянии 3 см от центра сферы. Чтобы найти длину стороны треугольника, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем радиус сферы. Радиус сферы равен половине диаметра, следовательно, \(r = \frac{12}{2} = 6\) см.

2. Найдем высоту треугольника. Высота треугольника - это расстояние от вершины треугольника до основания, перпендикулярно к основанию. В нашем случае, основание треугольника - это сторона треугольника, которая касается сферы. Рисуя перпендикуляр из центра сферы, мы получим высоту треугольника. Эта высота будет равна 6 - 3 = 3 см, так как основание треугольника находится на расстоянии 3 см от центра сферы.

3. По определению, в правильном треугольнике высота является медианой и биссектрисой. Таким образом, наша высота разделит основание (сторону треугольника) на две равные части.

4. Обозначим длину стороны треугольника через \(x\), тогда получится, что две половины основания треугольника будут равны \( \frac{x}{2} \).

5. Теперь используем теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(x\), и катетами, каждый из которых равен \( \frac{x}{2} \), мы можем записать следующее соотношение:
\(\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 3^2 = x^2\).

6. Раскроем скобки и решим уравнение:
\(\frac{x^2}{4} + 9 = x^2\).

7. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
\(x^2 + 36 = 4x^2\).

8. Перенесем \(x^2\) на одну сторону:
\(36 = 3x^2\).

9. Разделим обе части на 3:
\(12 = x^2\).

10. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\(\sqrt{12} = x\).

11. Упростим корень:
\(x \approx 3.46\) см.

Таким образом, длина стороны правильного треугольника, касающегося сферы диаметром 12 см и находящегося на расстоянии 3 см от центра сферы, составляет примерно 3.46 см.