Какова длина стороны треугольника, которая лежит напротив угла 45°, если радиус окружности, описанной вокруг этого

Leonid

39

Чтобы найти длину стороны треугольника, которая лежит напротив 45° угла, нам потребуется использовать свойства треугольника, описанного вокруг окружности.

Давайте рассмотрим данный треугольник, где один из углов равен 45° и радиус описанной окружности равен \( r \).

Мы можем использовать свойства описанной окружности, чтобы найти соответствующий окружности угол. В данном случае, так как один из углов треугольника равен 45°, то этот угол же будет равен центральному углу окружности, образованному дугой, противолежащей этой стороне треугольника.

Теперь, мы знаем, что центральный угол окружности в два раза больше соответствующего окружности угла. Итак, чтобы найти меру соответствующей окружности, мы можем разделить 360° на 2, получив 180°.

Теперь посмотрим на треугольник, который образован радиусами окружности, лежащими на концах этой стороны треугольника. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус окружности является радиусом в прямоугольном треугольнике.

Нам уже известно, что один из углов треугольника равен 45°, а значит другой угол равен 90° (по свойству прямоугольного треугольника).

Теперь, когда у нас есть два известных угла треугольника (45° и 90°), мы можем найти третий угол вычислением разности суммы углов треугольника (180°) и двух известных углов. В данном случае третий угол равен 45° (180° - 90° - 45°).

Поскольку у нас есть два угла треугольника и радиус окружности, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину стороны треугольника.

Зная, что противолежащий катет в прямоугольном треугольнике равен \( r \) (радиус окружности) и известен угол (45°), мы можем использовать функцию тангенс. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Формула для нахождения стороны треугольника будет следующей:

\[ Тангенс \space 45° = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \]

\[ Тангенс \space 45° = \frac{{r}}{{\text{{длина стороны треугольника}}}} \]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно длины стороны треугольника:

\[ \text{{длина стороны треугольника}} = r \times Тангенс \space 45° \]

Давайте представим значение тангенса 45°. В тригонометрии, тангенс 45° равен 1.

Теперь мы можем выразить решение в виде окончательной формулы:

\[ \text{{длина стороны треугольника}} = r \times 1 = r \]

Итак, длина стороны треугольника, лежащей напротив 45° угла, равна радиусу окружности, описанной вокруг этого треугольника.