Какова длина стороны ВС в треугольнике АВС, если сторона АВ равна 5√3, сторона АС равна 4 и угол ВАС равен 30 градусов?

Антонович

15

Конечно! Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

У нас есть треугольник АВС, где сторона АВ равна 5√3, сторона АС равна 4 и угол ВАС равен 30 градусов. Мы хотим найти длину стороны ВС.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны ВС равен сумме квадратов длины стороны АВ и стороны АС, вычтенной из удвоенного произведения этих сторон на косинус угла ВАС.

Математически, это можно записать следующим образом:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Теперь подставим известные значения:

\[BC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)\]

Вычислим значения внутри скобок:

\[BC^2 = 75 + 16 - 40\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Далее, упростим выражение:

\[BC^2 = 75 + 16 - 60\]

\[BC^2 = 31\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти длину стороны ВС:

\[BC = \sqrt{31}\]

Таким образом, длина стороны ВС равна \(\sqrt{31}\).

Решение этой задачи дает нам конкретный числовой ответ, который можно выразить с помощью квадратного корня из числа.