Какова длина струны, если ее длина уменьшается на 10 см и частота колебаний увеличивается в 1.5 раза?

Лебедь

6

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой, описывающей зависимость частоты колебаний струны от ее длины:

\[f = \frac{1}{2L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

где \(f\) - частота колебаний струны, \(L\) - длина струны, \(T\) - натяжение струны, \(\mu\) - линейная плотность струны.

Мы знаем, что длина струны уменьшилась на 10 см, то есть теперь ее длина будет \(L - 10\) см. Также дано, что частота колебаний увеличилась в 1.5 раза, то есть теперь частота колебаний будет \(1.5f\).

Мы можем записать уравнение для исходной струны:

\[f = \frac{1}{2L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

И уравнение для новой струны:

\[1.5f = \frac{1}{2(L-10)} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

Далее, мы можем сопоставить эти два уравнения:

\[1.5f = \frac{1}{2(L-10)} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

\[f = \frac{1}{2L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

Мы видим, что наши уравнения имеют общие члены \(\frac{1}{2}\) и \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\). Для решения задачи нам необходимо найти длину струны \(L\). Мы можем сократить эти общие члены, продолжив расчеты:

\[1.5 = \frac{L}{L-10}\]
\[1.5(L-10) = L\]
\[1.5L - 15 = L\]
\[0.5L = 15\]
\[L = \frac{15}{0.5}\]
\[L = 30\]

Таким образом, исходная длина струны составляет 30 см.