Какова длина третьей стороны треугольника, если две из его сторон имеют длины 3 и 4 соответственно, а соотношение между

Chudesnaya_Zvezda

48

Очень рад помочь вам с этой задачей!

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углами противоположными этим сторонам \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) соответственно, верно следующее уравнение:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

В нашей задаче, у нас уже известны две стороны треугольника - 3 и 4 - и отношение между противоположными углами составляет 1:2. Пусть третья сторона имеет длину \(c\), первый угол \(\alpha\) будет соответствовать стороне длины 3, а второй угол \(\beta\) будет соответствовать стороне длины 4.

Поскольку отношение между противоположными углами составляет 1:2, мы можем сказать, что \(\alpha = x\) и \(\beta = 2x\), где \(x\) - это неизвестный угол.

Заменим эти значения в уравнение теоремы синусов:

\[\frac{3}{\sin(x)} = \frac{4}{\sin(2x)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти длину третьей стороны \(c\).

Сначала найдем \(\sin(2x)\). Мы знаем, что \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), так что заменим это в уравнение:

\[\frac{3}{\sin(x)} = \frac{4}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Теперь можем упростить это уравнение:

\[\frac{3}{\sin(x)} = \frac{2}{\cos(x)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Так как у нас есть отношение между двумя сторонами, мы можем составить следующее уравнение:

\[\frac{3}{2} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Из этого уравнения можно найти \(\sin(\gamma)\):

\[\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{3}{2}\]
\[\sin(\gamma) = \frac{2c}{3}\]

Теперь рассмотрим треугольник с длинами сторон 4 и \(2c/3\), и углом \(\gamma\). По теореме синусов для этого треугольника, у нас есть:

\[\frac{4}{\sin(\gamma)} = \frac{2c/3}{1}\]

Теперь перейдем к упрощению этого уравнения:

\[\frac{4}{\sin(\gamma)} = \frac{2c/3}{1}\]
\[\frac{4}{\sin(\gamma)} = \frac{2c}{3}\]

Упростив это, получим:

\[\frac{4}{\sin(\gamma)} = \frac{2c}{3}\]
\[\frac{4}{2c/3} = \sin(\gamma)\]
\[\frac{6}{c} = \sin(\gamma)\]

Таким образом, мы получили выражение \(\sin(\gamma) = \frac{6}{c}\).

Теперь, найдя значение \(\sin(\gamma)\), мы можем найти значение \(\gamma\) с помощью обратной функции синуса:

\[\gamma = \arcsin\left(\frac{6}{c}\right)\]

Используя это значение, мы можем вернуться к уравнению:

\[\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{3}{2}\]

Подставим значение \(\gamma\) и решим уравнение:

\[\frac{c}{\sin\left(\arcsin\left(\frac{6}{c}\right)\right)} = \frac{3}{2}\]
\[c = \frac{3}{2} \cdot \sin\left(\arcsin\left(\frac{6}{c}\right)\right)\]

Упростим это, используя свойство обратной функции синуса:

\[c = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{c}\]
\[c = \frac{9}{c}\]
\[c^2 = 9\]
\[c = 3\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 3.

Я надеюсь, что этот подробный ответ с пошаговым решением был полезным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!