Какова длина третьей стороны треугольника, если две известные стороны равны 8 см и корень 72 см, а угол, противолежащий

Ябеда

50

Для решения данной задачи мы можем использовать закон косинусов, который гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где \(c\) - третья сторона треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны, \(C\) - угол, противолежащий большей стороне.

В нашем случае, известно, что \(a = 8\) см, \(b = \sqrt{72}\) см, а угол \(C\) равен 45 градусов.

Подставляем известные значения в формулу:

\[c^2 = 8^2 + (\sqrt{72})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \cos(45^\circ)\]

Вычисляем значения:

\[c^2 = 64 + 72 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[
c^2 = 136 - 96\sqrt{2}
\]

Теперь найдем значение \(c\) путем извлечения квадратного корня:

\[c = \sqrt{136 - 96\sqrt{2}}\]

Далее, чтобы найти другие углы треугольника, мы можем использовать закон синусов.

Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(A\), \(B\), и \(C\) - углы треугольника, а \(a\), \(b\), и \(c\) - соответствующие им стороны.

В нашем случае, известны стороны \(a = 8\) см и \(c\), которую мы нашли ранее.

Теперь мы можем найти угол \(A\) с помощью закона синусов:

\[\frac{8}{\sin(A)} = \frac{\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}}{\sin(45^\circ)}\]

Отсюда мы можем найти значение угла \(A\):

\[\sin(A) = \frac{8\sin(45^\circ)}{\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}}\]

\[
A = \arcsin\left(\frac{8\sin(45^\circ)}{\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}}\right)
\]

Аналогичным образом можем найти угол \(B\):

\[\sin(B) = \frac{\sqrt{72}\sin(45^\circ)}{\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}}\]

\[
B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{72}\sin(45^\circ)}{\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}}\right)
\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет \(\sqrt{136 - 96\sqrt{2}}\) см. Углы треугольника \(A\) и \(B\) могут быть найдены с помощью арксинусов, как указано выше.