Is the inequality x^2 * log(25x) greater than or equal to log(25x^3) + x * log(x)?

Mister

37

Добро пожаловать! Давайте решим данное неравенство. У нас дано неравенство:

\[x^2 \cdot \log(25x) \geq \log(25x^3) + x \cdot \log(x).\]

Для начала, давайте разберемся с логарифмами. Имея некоторые свойства логарифмов, мы можем преобразовать это неравенство:

\[\log(25x^3) + \log(x^x) \leq x^2 \cdot \log(25x).\]

Теперь мы можем использовать правило суммы для логарифмов и получить:

\[\log(25x^3 \cdot x^x) \leq x^2 \cdot \log(25x).\]

Давайте упростим обе части этого неравенства. Сначала, в левой части у нас есть произведение \(25x^3 \cdot x^x\), которое можно записать как \(25x^{3+x}\):

\[\log(25x^{3+x}) \leq x^2 \cdot \log(25x).\]

Теперь мы можем упростить правую часть неравенства. Мы знаем, что \(\log(25x) = \log(25) + \log(x)\), поэтому можно записать:

\[\log(25x^{3+x}) \leq x^2 \cdot (\log(25) + \log(x)).\]

Далее, применим правило произведения логарифма и числа, чтобы убрать логарифмы из правой части:

\[\log(25x^{3+x}) \leq x^2 \cdot \log(25) + x^2 \cdot \log(x).\]

Теперь у нас есть неравенство без логарифмов:

\[\log(25x^{3+x}) \leq x^2 \cdot \log(25) + x^2 \cdot \log(x).\]

Поэтому, ответ на данное неравенство состоит в том, что

\[x^2 \cdot \log(25x) \geq \log(25x^3) + x \cdot \log(x),\]

если и только если

\[\log(25x^{3+x}) \leq x^2 \cdot \log(25) + x^2 \cdot \log(x).\]

Надеюсь, это объяснение понятно. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!