Какова длина вектора AC? Найдите длину вектора AC, если длина вектора AB равна 6, длина вектора AB-AC равна 7 и косинус

Mister

19

Для решения данной задачи о найдении длины вектора AC, мы можем использовать формулу, основанную на теореме косинусов. Данная формула выглядит следующим образом:

\(|AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\angle BAC) = |AB - AC|^2\)

где \(|AB|\) - длина вектора AB,
\(|AC|\) - длина вектора AC,
\(\angle BAC\) - угол между векторами AB и AC,
и \(|AB - AC|\) - длина вектора AB-AC.

Мы можем записать известные значения в формулу и решить ее, чтобы найти длину вектора AC.

Подставим известные значения в формулу:

\(6^2 + |AC|^2 - 2 \cdot 6 \cdot |AC| \cdot \frac{{23}}{{72}} = 7^2\)

Упростим уравнение:

\(36 + |AC|^2 - \frac{{23}}{{12}} \cdot |AC| = 49\)

Или:

\(|AC|^2 - \frac{{23}}{{12}} \cdot |AC| - 13 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\(D = \left(\frac{{23}}{{12}}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)\)

\(D = \frac{{529}}{{144}} + 52\)

\(D = \frac{{529 + 7488}}{{144}}\)

\(D = \frac{{8017}}{{144}}\)

Так как D положительное число, у нас есть два корня уравнения:

\(x_1 = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} + \sqrt{D}}}{2} = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} + \sqrt{\frac{{8017}}{{144}}}}}{2}\)

\(x_2 = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} - \sqrt{D}}}{2} = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} - \sqrt{\frac{{8017}}{{144}}}}}{2}\)

Теперь найдем длину вектора AC, используя одно из найденных значений:

\(AC = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} + \sqrt{\frac{{8017}}{{144}}}}}{2}\) или \(AC = \frac{{-\frac{{23}}{{12}} - \sqrt{\frac{{8017}}{{144}}}}}{2}\)

Теперь вычислим значения:

\(AC \approx 4.775\) или \(AC \approx -1.068\)

Поскольку длина вектора не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение.

Итак, длина вектора AC примерно равна 4.775.