Каковы а) длина диагонали призмы и в) площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы со стороной

Vasilisa

45

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать знания о геометрии и теореме Пифагора.

Пусть сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 8 см. Так как угол между диагональю и плоскостью основания составляет 45 градусов, можно построить прямоугольный треугольник, где гипотенуза будет диагональю призмы, а катеты будут сторонами основания.

Для нахождения длины диагонали (Д) призмы, воспользуемся теоремой Пифагора:
\[Д = \sqrt{8^2 + 8^2}\]

Рассчитаем:
\[Д = \sqrt{64 + 64}\]
\[Д = \sqrt{128}\]
\[Д \approx 11.31 \, \text{см}\]

Площадь боковой поверхности (П) правильной четырехугольной призмы можно найти, умножив периметр основания на высоту призмы.

Периметр основания равен сумме длин всех сторон основания.
У нас есть четырехугольная призма, у которой сторона основания равна 8 см.
\[Периметр = 4 \times сторона\]
\[Периметр = 4 \times 8\]
\[Периметр = 32 \, \text{см}\]

Теперь найдем высоту призмы. Так как диагональ образует угол 45 градусов с основанием, то высота призмы равна проекции диагонали на плоскость основания.
Мы можем использовать синус угла 45 градусов, чтобы найти высоту призмы.
\[Высота = \text{длина диагонали} \times \sin(45^{\circ})\]
\[Высота \approx 11.31 \, \text{см} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[Высота \approx 7.99 \, \text{см}\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр на высоту:
\[П = Периметр \times Высота\]
\[П = 32 \, \text{см} \times 7.99 \, \text{см}\]
\[П \approx 255.64 \, \text{см}^2\]

Таким образом, длина диагонали призмы составляет около 11.31 см, а площадь боковой поверхности равна примерно 255.64 см².