Який є двограний кут при основі правильної п-кутної піраміди, якщо площа її повної поверхні є утричі більшою за площу

Pugayuschiy_Lis

29

Для решения данной задачи, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства правильной пирамиды и логику.

Пусть $S$ обозначает площадь основы пирамиды, а $P$ - площадь ее полной поверхности.

Из условия задачи дано, что площадь полной поверхности пирамиды $P$ равна утричи площади основы $S$, то есть, $P=3S$.

Для правильной пирамиды с $n$ вершинами и сторонами, площадь основы можно найти по формуле: $S=\frac{a^2\cdot n}{4\cdot \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}$, где $a$ - длина стороны основы, а $n$ - количество сторон.

Теперь нам нужно найти двугранный угол $\theta$, который образуется при основе пирамиды. Для этого воспользуемся формулой, связывающей площадь полной поверхности пирамиды и ее стороны:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot p$$

где $p$ - периметр основы пирамиды.

Для правильной пирамиды с $n$ сторонами и радиусом описанной окружности ($R$), периметр основы можно найти по формуле: $p=2\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$.

Заметим, что в нашем случае правильная пирамида имеет треугольную основу, поэтому $n=3$.

Теперь мы можем записать выражение для площади полной поверхности пирамиды:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=a\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

Известно, что $P=3S$, следовательно:

$$a\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot S$$

Подставив выражение для площади основы $S$ и зная, что $a=2R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$, получим:

$$2R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot S$$

Раскроем синусы:

$$2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot S$$

$$R^2\cdot \frac{3}{2}=3\cdot S$$

$$R^2=2\cdot S$$

Таким образом, мы получили, что квадрат радиуса описанной окружности пирамиды равен удвоенной площади основы.

Теперь возвращаемся к вопросу о двугранном угле при основе пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды этот угол равен 60 градусам или $\frac{\pi }{3}$ радиан.

Таким образом, ответ на задачу: двугранный угол при основе правильной пирамиды равен арксинусу от $\frac{\pi }{3}$ или $\arcsin \left(\frac{\pi }{3}\right)$.

Ответ: а) арксинус.