Який є двограний кут при основі правильної п-кутної піраміди, якщо площа її повної поверхні є утричі більшою за площу

Pugayuschiy_Lis

29

Для решения данной задачи, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства правильной пирамиды и логику.

Пусть \(S\) обозначает площадь основы пирамиды, а \(P\) - площадь ее полной поверхности.

Из условия задачи дано, что площадь полной поверхности пирамиды \(P\) равна утричи площади основы \(S\), то есть, \(P = 3S\).

Для правильной пирамиды с \(n\) вершинами и сторонами, площадь основы можно найти по формуле: \(S = \frac{{a^2 \cdot n}}{{4 \cdot \tan\left(\frac{{\pi}}{{n}}\right)}}\), где \(a\) - длина стороны основы, а \(n\) - количество сторон.

Теперь нам нужно найти двугранный угол \(\theta\), который образуется при основе пирамиды. Для этого воспользуемся формулой, связывающей площадь полной поверхности пирамиды и ее стороны:

\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p\]

где \(p\) - периметр основы пирамиды.

Для правильной пирамиды с \(n\) сторонами и радиусом описанной окружности (\(R\)), периметр основы можно найти по формуле: \(p = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\).

Заметим, что в нашем случае правильная пирамида имеет треугольную основу, поэтому \(n = 3\).

Теперь мы можем записать выражение для площади полной поверхности пирамиды:

\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = a \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

Известно, что \(P = 3S\), следовательно:

\[a \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot S\]

Подставив выражение для площади основы \(S\) и зная, что \(a = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\), получим:

\[2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot S\]

Раскроем синусы:

\[2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot S\]

\[R^2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \cdot S\]

\[R^2 = 2 \cdot S\]

Таким образом, мы получили, что квадрат радиуса описанной окружности пирамиды равен удвоенной площади основы.

Теперь возвращаемся к вопросу о двугранном угле при основе пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды этот угол равен 60 градусам или \(\frac{\pi}{3}\) радиан.

Таким образом, ответ на задачу: двугранный угол при основе правильной пирамиды равен арксинусу от \(\frac{\pi}{3}\) или \(\arcsin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Ответ: а) арксинус.