Який є двограний кут при основі правильної п-кутної піраміди, якщо площа її повної поверхні є утричі більшою за площу

  • 28
Який є двограний кут при основі правильної п-кутної піраміди, якщо площа її повної поверхні є утричі більшою за площу основи? а) арксинус; б) арккосинус; в) 30°.
Pugayuschiy_Lis
29
Для решения данной задачи, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства правильной пирамиды и логику.

Пусть S обозначает площадь основы пирамиды, а P - площадь ее полной поверхности.

Из условия задачи дано, что площадь полной поверхности пирамиды P равна утричи площади основы S, то есть, P=3S.

Для правильной пирамиды с n вершинами и сторонами, площадь основы можно найти по формуле: S=a2n4tan(πn), где a - длина стороны основы, а n - количество сторон.

Теперь нам нужно найти двугранный угол θ, который образуется при основе пирамиды. Для этого воспользуемся формулой, связывающей площадь полной поверхности пирамиды и ее стороны:

P=12ap

где p - периметр основы пирамиды.

Для правильной пирамиды с n сторонами и радиусом описанной окружности (R), периметр основы можно найти по формуле: p=2Rsin(πn).

Заметим, что в нашем случае правильная пирамида имеет треугольную основу, поэтому n=3.

Теперь мы можем записать выражение для площади полной поверхности пирамиды:

P=12a2Rsin(π3)=aRsin(π3)

Известно, что P=3S, следовательно:

aRsin(π3)=3S

Подставив выражение для площади основы S и зная, что a=2Rsin(π3), получим:

2Rsin(π3)Rsin(π3)=3S

Раскроем синусы:

2R32R32=3S

R232=3S

R2=2S

Таким образом, мы получили, что квадрат радиуса описанной окружности пирамиды равен удвоенной площади основы.

Теперь возвращаемся к вопросу о двугранном угле при основе пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды этот угол равен 60 градусам или π3 радиан.

Таким образом, ответ на задачу: двугранный угол при основе правильной пирамиды равен арксинусу от π3 или arcsin(π3).

Ответ: а) арксинус.