Какова длина высоты в треугольнике ABC, если известно, что медиана BM равна 1, высота AH равна 5, а угол CBM равен

Malysh

32

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников и формулами тригонометрии.

Дано: в треугольнике ABC медиана BM = 1, высота AH = 5 и угол CBM = 30 градусов.

Нам необходимо найти длину высоты BH.

1) Начнем с построения треугольника ABC и отметим заданные значения:

- Возьмем точку C и отметим угол CBM равный 30 градусов.

- Теперь проведем медиану BM, которая равна 1. Медиана в треугольнике делит сторону на две равные части, поэтому от точки B отметим отрезок BM равный 1.

- Далее проведем высоту AH и отметим ее длину, которая равна 5. Высота в треугольнике перпендикулярна стороне, поэтому она будет пересекаться с стороной BC в точке H.

- Теперь нам нужно найти высоту BH, поэтому проведем от точки H линию, параллельную стороне AB, и обозначим ее пересечение с продолжением медианы BM точкой K.

2) В треугольнике CBM у нас есть заданный угол CBM и известная медиана BM. Для нахождения угла BKM воспользуемся тригонометрическим соотношением тангенса:
\(\tan(\angle BKM) = \frac{{CM}}{{BM}}\)

Подставляем известные значения:
\(\tan(\angle BKM) = \frac{{CM}}{{1}}\)

Так как угол CBM равен 30 градусов, то \(\angle BKM = 180 - CBM = 180 - 30 = 150\) градусов.

3) Находим значение CM, используя тригонометрическое соотношение синуса в треугольнике CBM:
\(\sin(\angle CBM) = \frac{{CM}}{{BM}}\)

Подставляем известные значения:
\(\sin(30^\circ) = \frac{{CM}}{{1}}\)

Решаем уравнение:
\(CM = \sin(30^\circ) = \frac{{1}}{{2}}\)

4) Определяем значение длины отрезка BK, который будет равен AE. Так как AE и BK являются параллельными линиями, то соответствующие углы равны. Значит, угол BAE также равен 30 градусам.

5) В треугольнике BAE воспользуемся тангенсом, чтобы найти значение BE:
\(\tan(\angle BAE) = \frac{{BH}}{{AE}}\)

Подставляем известные значения:
\(\tan(30^\circ) = \frac{{BH}}{{AE}}\)

Так как угол BAE равен 30 градусам, то \(\angle BAE = 180 - CBM = 180 - 30 = 150\) градусов.

Заметим, что AE равна 5, так как это длина высоты.

Решаем уравнение:
\(BH = \tan(30^\circ) \cdot AE\)

6) Подставляем известные значения:
\(BH = \tan(30^\circ) \cdot 5 = \frac{{\sqrt{3}}}{3} \cdot 5 = \frac{{5\sqrt{3}}}{3}\)

Таким образом, длина высоты BH в треугольнике ABC равна \(\frac{{5\sqrt{3}}}{3}\).