Какова добротность системы маятника, состоящего из 82-сантиметровой легкой нити с грузом массой 126 г на конце

Plyushka

69

Чтобы найти добротность системы маятника, нам необходимо найти отношение максимальной энергии к потерям энергии за один период колебаний. Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем период колебаний маятника.
Период колебаний маятника можно найти с помощью формулы:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Где:
T - период колебаний,
l - длина нити (в метрах),
g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).

Переведем длину нити из сантиметров в метры:
$$l=\frac{82}{100}$$

Подставим значения в формулу:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{0.82}{9.8}}$$

Вычислим корень:
$$T=2\pi \sqrt{0.083877551}$$

$$T\approx 2\pi \cdot 0.289517034$$

$$T\approx 1.819$$ (округляем до трех знаков после запятой)

Шаг 2: Найдем максимальную энергию системы.
Максимальная энергия системы маятника равна кинетической энергии на крайней точке колебаний. Формула для кинетической энергии:

$$E_{\text{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Где:
E_{\text{к}} - кинетическая энергия,
m - масса груза (в килограммах),
v - скорость груза на крайней точке колебаний.

Переведем массу груза из граммов в килограммы:
$$m=\frac{126}{1000}$$

Подставим значения в формулу:
$$E_{\text{к}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{126}{1000}\cdot (2\pi \cdot \frac{0.073}{2\pi \cdot 1.819}{)}^2$$

$$E_{\text{к}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{126}{1000}\cdot (0.073\cdot \frac{1}{1.819}{)}^2$$

$$E_{\text{к}}=\frac{1}{2}\cdot 0.126\cdot {0.020194}^2$$

$$E_{\text{к}}=0.000181$$ (округляем до шести знаков после запятой)

Шаг 3: Найдем потери энергии за один период колебаний.
Потери энергии за один период колебаний определяются силой сопротивления по формуле:

$$W=\frac{\pi \cdot f\cdot v_{\text{макс}}}{Q}$$

Где:
W - потери энергии,
f - сила сопротивления,
v_{\text{макс}} - максимальная скорость груза,
Q - добротность системы.

Максимальная скорость груза достигается при прохождении через положение равновесия и по формуле для максимальной скорости маятника:

$$v_{\text{макс}}=2\pi \cdot A\cdot f$$

Где:
A - амплитуда колебаний (равна длине нити l).

Подставим значения:
$$v_{\text{макс}}=2\pi \cdot 0.82\cdot 0.073$$

$$v_{\text{макс}}=0.381353$$

Теперь, с учетом значения максимальной скорости, рассчитаем потери энергии:
$$W=\frac{\pi \cdot 0.073\cdot 0.381353}{Q}$$

$$W=\frac{0.089014\pi }{Q}$$ (округляем до шести знаков после запятой)

Шаг 4: Найдем добротность системы.
Добротность системы маятника равна отношению максимальной энергии к потерям энергии за один период колебаний:

$$Q=\frac{E_{\text{к}}}{W}$$

Подставим значения:
$$Q=\frac{0.000181}{\frac{0.089014\pi }{Q}}$$

$$Q^2=\frac{0.000181}{0.089014\pi }$$

$$Q^2\approx \frac{1}{491.999220}$$

$$Q\approx 0.022141$$ (округляем до шести знаков после запятой)

Итак, добротность системы маятника составляет примерно 0.022141 (округлено до шести знаков после запятой).