Какова добротность системы маятника, состоящего из 82-сантиметровой легкой нити с грузом массой 126 г на конце

Plyushka

69

Чтобы найти добротность системы маятника, нам необходимо найти отношение максимальной энергии к потерям энергии за один период колебаний. Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем период колебаний маятника.
Период колебаний маятника можно найти с помощью формулы:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Где:
T - период колебаний,
l - длина нити (в метрах),
g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).

Переведем длину нити из сантиметров в метры:
\[ l = \frac{82}{100} \]

Подставим значения в формулу:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0.82}{9.8}} \]

Вычислим корень:
\[ T = 2\pi\sqrt{0.083877551} \]

\[ T \approx 2\pi\cdot 0.289517034 \]

\[ T \approx 1.819 \] (округляем до трех знаков после запятой)

Шаг 2: Найдем максимальную энергию системы.
Максимальная энергия системы маятника равна кинетической энергии на крайней точке колебаний. Формула для кинетической энергии:

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2 \]

Где:
E_{\text{к}} - кинетическая энергия,
m - масса груза (в килограммах),
v - скорость груза на крайней точке колебаний.

Переведем массу груза из граммов в килограммы:
\[ m = \frac{126}{1000} \]

Подставим значения в формулу:
\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{126}{1000} \cdot (2\pi \cdot \frac{0.073}{2\pi \cdot 1.819})^2 \]

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{126}{1000} \cdot (0.073 \cdot \frac{1}{1.819})^2 \]

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} \cdot 0.126 \cdot 0.020194^2 \]

\[ E_{\text{к}} = 0.000181 \] (округляем до шести знаков после запятой)

Шаг 3: Найдем потери энергии за один период колебаний.
Потери энергии за один период колебаний определяются силой сопротивления по формуле:

\[ W = \frac{\pi \cdot f\cdot v_{\text{макс}}}{Q} \]

Где:
W - потери энергии,
f - сила сопротивления,
v_{\text{макс}} - максимальная скорость груза,
Q - добротность системы.

Максимальная скорость груза достигается при прохождении через положение равновесия и по формуле для максимальной скорости маятника:

\[ v_{\text{макс}} = 2\pi \cdot A \cdot f \]

Где:
A - амплитуда колебаний (равна длине нити l).

Подставим значения:
\[ v_{\text{макс}} = 2\pi \cdot 0.82 \cdot 0.073 \]

\[ v_{\text{макс}} = 0.381353 \]

Теперь, с учетом значения максимальной скорости, рассчитаем потери энергии:
\[ W = \frac{\pi \cdot 0.073 \cdot 0.381353}{Q} \]

\[ W = \frac{0.089014\pi}{Q} \] (округляем до шести знаков после запятой)

Шаг 4: Найдем добротность системы.
Добротность системы маятника равна отношению максимальной энергии к потерям энергии за один период колебаний:

\[ Q = \frac{E_{\text{к}}}{W} \]

Подставим значения:
\[ Q = \frac{0.000181}{\frac{0.089014\pi}{Q}} \]

\[ Q^2 = \frac{0.000181}{0.089014\pi} \]

\[ Q^2 \approx \frac{1}{491.999220} \]

\[ Q \approx 0.022141 \] (округляем до шести знаков после запятой)

Итак, добротность системы маятника составляет примерно 0.022141 (округлено до шести знаков после запятой).